Question

Calcule (a+b) se o seguinte relacionamento for cumprido:

$\sqrt[ {a}^{4} ]{ \sqrt[ {b}^{8} ]{ \sqrt[ {a}^{12} ]{ \sqrt[ {b}^{16} ]{....... \sqrt[ {b}^{4n} ]{ \frac{ {a {}^{a(b)} }^{ { - 1} { {( {a}^{n - 1} \times {b}^{n + 1} )}^{n + 1} }} \times {b}^{ {(ab)}^{ {n}^{2} \times {b}^{2n} } } }{ {a}^{ {a}^{ - 1} b {( {a}^{n + 1} \times {b}^{n - 1} )}^{n + 1}} \times {b}^{ {(ab)}^{ {n}^{2} \times {a}^{2n} } } } } } } } } = {8}^{ { - 4}^{n} } \times ab$

a)4

b)6

c)8

d)10

e)12


#Cálculo e explicação

Answer 1

Olá Emanueli200!
Antes de escrever toda a expressão acima vamos primeiramente reduzir os termos semelhantes.
$\mathsf{\frac{a^{a*b^{-1}(a^{n-1}*b^{n+1})^{n+1}}}{a^{a^{-1}*b(a^{n+1}*b^{n-1})^{n+1}}}=\frac{a^{a*b^{-1}*a^{n^2-1}*b^{n^2+2n^{2n}+1}}}{a^{a^{-1}*b*a^{n^2+2n+1}*b^{n^2-1}}}=\frac{a^{a^{n^2}*b^{n^2+2n}}}{a^{a^{n^2+2n}*b^{n^2}}}=a^{a^{n^2}b^{n^2+2n}-a^{n^2+2n}*b^{n^2}}}\\\\\mathsf{= a^{(ab)^{n^2}b^{2n}-(ab)^{n^2}*a^{2n}}=\boxed{a^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})}} }$
Explicação: Primeiro eu distribui n+1 multiplicando pelos expoentes dentro dos parênteses, e fui reduzindo as bases semelhantes.
Segundo termo dentro das raizes:
$\mathsf{\frac{b^{(ab)^{n^2}*b^{2n}}}{b^{(ab)^{n^2}*a^{2n}}}=b^{(ab)^{n^2}*b^{2n}-(ab)^{n^2}*a^{2n}}= b^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})} }$
Juntando o primeiro e segundo termo, temos:
$\mathsf{E=a^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})}*b^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})}=(ab)^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})} }$
Vamos agora reduzir as raizes.
Observamos que, quando n é impar, é criada uma raiz de índice a^n e se n for par, b^n.
Irei listar como seria o indice das raizes unidas em função de n (natural)

a^0  *b^0         (n=0)
a^4  *b^0         (n=1)
a^4  *b^8         (n=2)
a^16*b^8         (n=3)
a^16*b^24       (n=4)
a^36*b^24       (n=5)
a^36*b^48       (n=6)

Analizaremos primeiramente o termo a.

Observe que o expoente de a segue a função n^2 quando n é par, e (n+1)^2 quando n é impar. Uma função que podemos utilizar para variar uma função de forma periódica é (-1)^n para números naturais. Assim basta implementar diretamente esse termo na mudança que ocorre entre pares e impares. A função assim ficará:

$(n-\frac{(-1)^n-1}{2})^2$

Expoente do b:

Quando n é impar, a função do expoente é n^2-1 e quando é par, (n+1)^2-1,assim a função do expoente de b é:

$(n+\frac{(-1)^n+1}{2})^2-1$

O indice da raiz principal ficará:

$I=a^{(n-\frac{(-1)^n-1}{2})^2}*b^{(n+\frac{(-1)^n+1}{2})^2-1}\\\\I=a^{n^2-n(-1)^n+n+\frac{1}{4}(2-2(-1)^n)}*b^{n^2+n*(-1)^n+n+\frac{1}{4}(2+2(-1)^n)-1)}\\\\I=(ab)^{n^2+n}*(\frac{b}{a})^{n(-1)^n+\frac{(-1)^n-1}{2}}}}\\\\I=(ab)^{n^2+n}*(\frac{b}{a})^{(-1)^n(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}$

A expressão total do primeiro membro ficará:

$M=\sqrt[I]{E}=E^\frac{1}{I}=((ab)^{(ab)^{n^2}*(b^{2n}-a^{2n})})^{\frac{1}{(ab)^{n^2+n}*(\frac{b}{a})^{(-1)^n(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}}}}\\\\M=(ab)^{\frac{(b^n+a^n)*(b^n-a^n)}{ab^{n}*(\frac{b}{a})^{(-1)^n}*(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2} }}}}=(ab)^{\frac{((\frac{b}{a})^{-n}+1)*((\frac{b}{a})^n-1)}{(\frac{b}{a})^{(-1)^n*(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}}}}\\\\M=(ab)^{\frac{(\frac{b}{a})^n-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^{(-1)^n*(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}}}$

A Equação então ficará:

$(ab)^{\frac{(\frac{b}{a})^n-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^{(-1)^n*(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}}}=8^{-4^n}ab\\\\(ab)^{\frac{(\frac{b}{a})^n-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^{(-1)^n*(n+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}}-1}=8^{-4^n}$

Aqui não temos muito o que fazer para solucionar o exercício, porém podemos separar em casos em que n é par ou n é impar para facilitar os cálculos.

Para n par...

$(ab)^{\frac{(\frac{b}{a})^n-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^{n}}-1}=8^{-4^n}\\\\(ab)^{\frac{-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^n}}=8^{-2^{2n}}\\\\(ab)^{-(\frac{b}{a})^{-2n}}=8^{-2^{2n}}\\\\(ab)^{-(\frac{a}{b})^{2n}}=8^{-2^{2n}}$

Aqui podemos encontrar um par de valores (x,y) que satisfaz a equação para n par.

$\left \{ {{ab=8} \atop {\frac{a}{b}=2}} \right. \implies \left \{ {{a=4} \atop {b=2}} \right.$

Se esse par ordenado for também solução da equação para n impar, então ele também será solução para a equação global.

Para n impar:

$(ab)^{\frac{(\frac{b}{a})^n-(\frac{b}{a})^{-n}}{(\frac{b}{a})^{-n-1}}-1}=8^{-4^n}\\\\(ab)^{\frac{b}{a}*((\frac{b}{a})^{2n}-1)-1}=8^{-2^{2n}}\\\\8^{2*(4^n-1)-1}=8^{-4^n}$

Para n impar a solução não é safisfeita, até porque a única solução dessa equação: n=0 , é par.

Assim, para n pares, o que foi provavelmente subentendido no enunciado pela alternância dos índices das raizes entre a e b e o término provavelmente obrigatório de b, a+b deve ser igual a 6, pois 4+2=6.

A alternativa correta é a letra B.

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