Question

calcule o valor de X na igualdade 10x + 20x +...+1280x = 7. 650, sabendo que os termos do 1° membro forma uma PG

Answer 1

Queremos achar x que satisfaz

$\mathsf{10x+20x+\dots+1280x=(10+20+\dots+1280)x=7650}$

Chamando $\mathsf{S=10+20+\dots+1280}$, temos que $\mathsf{x=\frac{7650}{S}}$. Basta encontrarmos o valor de $\mathsf{S}$

Tendo que $\mathsf{10,\,20,\dots,\,1280}$ são termos de uma P.G, podemos encontrar sua razão:

$\mathsf{q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{20}{10}=2}$

Portanto, o temo geral dessa P.G é $\mathsf{a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}=10\cdot2^{n-1}}$

Queremos encontrar a posição de 1280 nessa P.G, isto é, o valor de n que satisfaz $\mathsf{a_{n}=1280}$

$\mathsf{a_{n}=1280}\\\\\mathsf{10\cdot2^{n-1}=1280}\\\\\mathsf{2^{n-1}=128}$

Reescrevendo $\mathsf{128=2^{7}}$, obtemos

$\mathsf{2^{n-1}=2^{7}}\\\\\mathsf{n-1=7}\\\\\mathsf{n=7+1}\\\\\mathsf{n=8}$

Portanto, 1280 é o oitavo termo dessa progressão geométrica, logo S é a soma dos oito primeiros termos da P.G

A soma dos n primeiros termos de uma P.G é dada por

$\mathsf{S_{n}=a_{1}\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}}$

Logo,

$\mathsf{10+20+\dots+1280=S=S_{8}=a_{1}\cdot\dfrac{q^{8}-1}{q-1}}$

Como $\mathsf{a_{1}=10,\,\,q=2}$:

$\mathsf{S=10\cdot\dfrac{2^{8}-1}{2-1}=10\cdot\dfrac{256-1}{1}=10\cdot255=2550}$
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Finalmente:

$\mathsf{x=\dfrac{7650}{S}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{7650}{2550}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{x=3}}}$