Question

UFC RJ considere o polinômio p x =

Answer 1

a) Para i ser raiz de P(x), P(i) = 0, portanto:

$P(x) = x^4+2x^3 + 3x^2 + 2x + 2$
$P(i) = i^4 + 2i^3 + 3i^2 + 2i + 2 = 0$

desenvolvendo:

$1-2i-3+2i+2 = 0$
$0=0 (V)$

Portanto, p(i) = 0 logo, i é raiz de p(x)

b) Pede-se todas as raízes complexas de P(x). Sabemos que i é uma delas, portanto, seu conjugado (-i) também é. Como P(x) é de grau 4, ou ele tem 2 raízes complexas e 2 raízes rais ou ele tem 4 raízes complexas (lembrando que existe o par conjugado de raiz).

Para verificar se existe alguma raiz real, usa-se o dispositivo prático de Briott-Ruffini (imagem I).

A partir daí, acha-se o seguinte polinômio q(x):

$q(x) = x^3 + (2-i)x^2 + (2-2i)x - 2i$

como q(x) é derivado de p(x), as raízes de q(x) são as mesmas de p(x). Com isso, usamos novamente o dispositivo prático de Briott-Ruffini (imagem II).

Daí tiramos o seguinte polinômio r(x):

$r(x) = x^2 +2x+ 2$

Usando Bhaskara, tem-se as seguintes raízes:

$x' = -1+i$
$x'' = -1-i$

Com isso, achamos todas as raízes complexas de P(x):

S = {i, -i, -1+i, -1-i}