Question

1. Dada a matriz
A= a b
c d
, mostre que se ad - bc diferente de 0 , então A é invertível e
A-1=1/ad-cb a -b
-c d

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Answer 1

a)

Segundo  teorema de Binet

det (A*B) = det A * det B

Fazendo B=A⁻¹   e sabendo que  A * A⁻¹ = I    ....I é a matriz identidade

det ( A * A⁻¹) = det A * det A⁻¹ = 1  ==>det A⁻¹ = 1/det A, logo , chegamos a conclusão que: se det A =0,  não existirá  A⁻¹..para qualquer matriz quadrada

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2)  Só para matriz 2x2

A * A⁻¹ = I

A= a   b

      c   d

A⁻¹ = e   f

         g   h

det A = ad-cb

a    b     * e       f         =   1    0

c    d       g       h             0     1

ae+bg  =1  ==> ae+b*(-ce/d)=1 ==>  e= 1/(a-bc/d) =d/(ad-bc)=d/det A

af+bh=0  ==> f=-bh/a   =-b/a * h = -b/a * [a/(-cb+da)] =-b/(-cb+da)= -b/det A

ce+dg =0 ==> g=-ce/d =-c/d * e  =-c/d  * [ d/(ad-bc)] =-c /(-cb+da)= -c/det A

cf+dh=1  ==> c*(-bh/a)+dh=1  ==> h =1/(-cb/a  + d)=a/(-cb+da)=a/det A

A⁻¹=

d/det A          -b/det A

-c/det A         a/det A

=

1/det A      *      d     -b

                        -c      a

Answer 2

Pelo Teorema de Binet mostramos a propriedade sugerida.

Teorema de Binet

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então: det(AB) = detA*detB. Jacques Philippe Marie Binet foi um matemático francês que contribuiu significativamente para a fundamentação da teoria das matrizes. Em 1812, conceituou a multiplicação de matrizes.

Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se,existir uma matriz B tal que: AB = BA = $I_{n}$ em que $I_{n}$ é a matriz identidade de ordem n.

Com o teorema de Binet podemos provar de maneira geral o exercício da seguinte maneira: Se existe a inversa de A, temos que $A*A^{-1}=I_{n}$ e, portanto, det($A*A^{-1}$) = det($I_{n}$), em que $I_{n}$ matriz identidade. Como det($I_{n}$) = 1, temos pelo teorema de Binet: det($A*A^{-1}$) = det($I_{n}$) ⇒$detA*det(A^{-1})=1$. Logo, detA ≠ 0 e $det(A^{-1}) =\frac{1}{detA}$. O que prova o enunciado da questão.

Saiba mais sobre matriz inversa: https://brainly.com.br/tarefa/20528616