Question

6- A área do losango formado pelos gráficos das funções f(x) = |2x|–2 e g(x) = –|2x|+ 2

é igual a:

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E)10

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Svbisb, que a resolução é simples, porém um pouco trabalhosa, pois estamos lidando com equações modulares.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se a área do losango formado pelos gráficos das funções seguintes:

f(x) = |2x| - 2
e
g(x) = -|2x| + 2

ii) Veja: como se trata de funções modulares, então vamos aplicar a definição.

ii.1) Primeiro trabalharemos com a primeira expressão, que é:

f(x) = |2x| - 2

ii.1.1) para (2x) ≥ 0, teremos:

2x - 2 = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1 <--- Este é um valor possível para "x"

ii.1.2) Para (2x) < 0, teremos:

- 2x - 2 = 0
- 2x = 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2x = - 2
x = -2/2
x = -1 <--- Este também é um valor possível para "x".

Agora veja: como a função modular é |2x| - 2 então, quando "x" for igual a zero, então o gráfico cortará o eixo dos "y" em y = - 2 . E como se trata de uma função modular, então o gráfico formará uma espécie de "V" (concavidade voltada pra cima), começando em y = -2 e passando nas raízes: x = -1 e x = 1.

ii.2) Agora vamos para a outra função, que é:

g(x) = - |2x| + 2

ii.2.1) Para (2x) ≥ 0, teremos:

- (2x) + 2 = 0 ---- (note que o sinal de menos antes é o sinal da operação que já existia, ok?) ---- continuando:

- 2x + 2 = 0
-2x = - 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2x = 2
x = 2/2
x = 1 <--- Este é um valor possível de "x".

ii.2.2) Para (2x) < 0, teremos:

- [-(2x)] + 2 = 0 ----- (note que o sinal de menos antes continua sendo o sinal de menos que já existia na operação, ok?) ---- Continuando, ficaremos com:

2x + 2 = 0
2x = - 2
x = -2/2
x = -1 <--- Este é outro valor de "x" válido.

Agora veja: como a função modular é - |2x| + 2 então, quando "x" for igual a zero, então o gráfico cortará o eixo dos "y" em y = 2 . E como se trata de uma função modular, então o gráfico formará uma espécie de "V" invertido (concavidade voltada pra baixo), começando em y = 2 e passando nas raízes: x = -1 e x = 1.

iii) Assim, quando os dois "V" (o que tem a concavidade voltada pra cima e o que tem a concavidade voltada pra baixo) se encontram formarão um losango, cuja diagonal maior medirá "4" u.m. (u.m. = unidades de medida), que é o segmento que parte de "y = -2" e vai até " y = 2", e cuja diagonal menor medirá "2" u.m., que é o segmento que parte de x = -1 e vai até x = 1.

Assim, como a área (A) de um losango é dada por:

A = (D*d)/2, em que "D" é a medida da diagonal maior e "d" é a medida da diagonal menor. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

A = (4*2)/2
A = 8/2
A = 4 u.a. <---- Esta é a resposta. Opção "B". (observação: u.a. = unidade de área).

Bem, a resposta já está dada. Mas pra que você tenha uma ideia visual, então veja o gráfico do sistema modular da sua questão no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos). Veja lá e constate tudo o que dissemos aí em cima sobre cada uma das funções modulares.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bf(x)+%3D+%7C2x%7C%E2%80%932,+g(x)+%3D+%E2%80%93%7C2x%7C%2B+2....

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.