Question

A diferença entre as raízes da equação
${x}^{2} + 11x + p = 0$
é igual a 5. Com base nesse dado:
a) determine as raízes;
b) encontre o valor de p.

Podem me ajudar pfv?

Answer 1

a)

Vamos analisar os coeficientes dessa equação.

Coeficiente "a" = 1    ⇒ Pois o 1 está multiplicando o $x^{2}$
Coeficiente "b" = 11  ⇒ Pois o 11 está multiplicando o $x$
Coeficiente "c" = $p$

Agora ver a resolução utilizando o método da Soma e Produto (Chamarei as raízes da equação de y e z)

Soma = y + z = $\frac{-b}{a}$ ⇒ Esse "b" e "a" são os coeficientes
Soma = y + z = $\frac{-11}{1}$
Soma = y + z = -11

Com isso, sabemos que a soma das raízes é igual a -11, e que a subtração entre ela é igual a 5 (com base no enunciado), com isso podemos montar um sistema.

$y + z = -11$
$y - z = 5$

Pelo método da soma:

$y + y + z - z = -11 + 5$
$2y = -6$
$y = \frac{-6}{2}$
$y = -3$     ⇒ Descobrimos uma das raízes

$y + z = -11$
$-3 + z = -11$
$z = -11 + 3$
$z = -8$     ⇒ Descobrimos a outra raiz.

Resposta: As raízes são -3 e -8.

b)

Produto = y.z = $\frac{c}{a}$   ⇒ "c" e "a" são os coeficientes
Produto = y.z = $\frac{p}{1}$
Produto = y.z = $p$

Ou seja, se multiplicarmos as raízes, encontraremos o valor de $p$.

$p = y.z$
$p = (-3).(-8)$
$p = 24$

Resposta: O valor de p é 24.