Question

Se x é inteiro tal que |x| < 10, o número de formas de escolher três valores de x com soma par é:

a) 527 b) 489 c) 432 d) 405 e) 600

Answer 1

Primeiro, deve-se descobrir os possíveis valores de x

$\ \ x \in \mathbb{Z}\ \ \ ; \ |x| \ \textless \ 10\ \ \therefore \ \ -9 \geq x\geq 9 \ \\\\ \ X = -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Tais valores foram colocados no conjunto 'X'.

Para obter um número par com a soma de três algarismos aleatórios desse grupo, é necessário dividi-los nos subconjuntos 'P' para os números pares e 'I' para os números ímpares.

Isso pois só é possível obter uma soma par nos seguintes casos:
1- Com a soma de três algarismos pares.
2- Com a soma de dois algarismos ímpares e um algarismo par.

$P = -8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8 \\\\ I = -9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9$



No caso desse exercício, são questionados o número de formas, ou seja, deve-se evitar repetições. Ou seja, a ordem dos algarismos não importa.

$Por\ exemplo,\ com\ a\ soma\ dos\ algarismos\ 2,4\ e\ 6, \\ ocorreria\ 6\ repeti c\a c\c \~ oes: \\\\ \boxed{\boxed{ \begin{matrix} \b2 & \b4 & \b6 \\\\ 2 & 6 & 4\\\\ 6 & 2 & 4\\\\ 6 & 4 & 2\\\\ 4 & 6 & 2\\\\ 4 & 2 & 6 \end{matrix}}}$

Para evitar isso, usaremos a seguinte fórmula:

$Combina c\a c\c \~ao\ simples \rightarrow \left \{ {C^{n}_p = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!} \right.$

Tal que:
n = número de valores a serem escolhidos dos subgrupos (nesse caso, três)
p = número total de algarismos pertencentes ao subgrupo (no caso de número pares, são 9 algarismos, e dos ímpares, 10)
C = número de formas de escolher a quantidade 'n' de 'p'



Então, aplicando a fórmula no primeiro caso, teremos 84 casos possíveis.

$C^{3}_9 = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} \\\\ C^{3}_9 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \\\\ C^{3}_9 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 6!} \\\\ C^{3}_9 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = \boxed{\boxed{84}}$


E no segundo caso, são 405 formas diferentes.

$C^{2}_{10} * C^{1}_{9} \\\\\\ C^{2}_{10} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} \\\\ C^{2}_{10} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} \\\\ C^{2}_{10} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \\\\\\ C^{1}_{9} = \frac{9!}{1! \cdot (9-1)!} \\\\ C^{1}_{9} = \frac{9 \cdot 8!}{8!} = 9 \\\\\\ C^{2}_{10} * C^{1}_{9} = 45 \cdot 9 = \boxed{\boxed{405}}$


$405 + 84 = 489 \\\\\\\\ \boxed{\boxed{Resultado \rightarrow b)\ 489}}$