Question

Mostre que a função sech x é par

Answer 1

A função secante hiperbólico é definida da seguinte forma:

     $\begin{array}{lccl} \mathrm{f:}&\mathbb{R}&\to &\mathbb{R}\\\\ &x&\mapsto&\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}:=\mathrm{sech}(x) \end{array}$


Para verificar a paridade da função secante hiperbólico, devemos verificar que

      $f(-x)=f(x),\quad \forall~~x\in\mathbb{R}.$


Partindo do lado esquerdo:

     $f(-x)=\mathrm{sech}(-x)\\\\ f(-x)=\dfrac{2}{e^{-x}+e^{-(-x)}}\\\\\\ f(-x)=\dfrac{2}{e^{-x}+e^x}\\\\\\ f(-x)=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}\\\\\\ f(-x)=\mathrm{sech}(x)\\\\\\ f(-x)=f(x)$

como queríamos demonstrar.


Logo, a função secante hiperbólico é uma função par.


Bons estudos! :-)