Question

(ITA 2013) Em um certo experimento, três cilindros idênticos encontram-se em pleno contato entre si, apoiados sobre uma mesa e sob a ação de uma força F, constante, aplicada na altura do centro de massa do cilindro da esquerda, perpendicularmente a seu eixo, como mostra a figura. Desconsiderando, qualquer tipo de atrito, para que os três cilindros permaneçam em contato entre si, a aceleração a provocada pela força deve ser tal que:

a) g/(3√3) ≤ a ≤ g/√3.
b) 2g/(3√2) ≤ a ≤ 4g/√2.
c) g/(2√3) ≤ a ≤ 4g/(3√3).
d) 2g/(3√2) ≤ a ≤ 3g/(4√2).
e) g/(2√3) ≤ a ≤ 3g/(4√3).

Answer 1

Para que exista um intervalo de acelerações para o qual os cilindros permaneçam em contato entre si, é natural que exista também um intervalo para a força F que permita que os cilindros permaneçam em contato, já que a força F é a única força externa na direção horizontal (as outras são os pesos dos cilindros e as normais que a superfície exerce nos cilindros inferiores).Dessa forma, obrigaremos a força F a ser mínima e máxima. No primeiro caso, acharemos a aceleração mínima que deve ser comunicada, ao sistema. No segundo, acharemos a máxima aceleração que pode ser comunicada ao sistema. Assim, obteremos o intervalo desejado.Sejam $N_{1} , N_{2}$ e $N_{3}$ as forças de contatos entre os cilindros B e C, A e B e A e C, respectivamente.Obrigando a força F a ser mínima:Para que a força F seja mínima, a força N, deverá tender a 0, já que, se F não for suficientemente grande, o cilindro A tenderá a ocupar o espaço entre os cilindros B e C, fazendo com que estes percam o contato entre si.Dessa forma, a condição que obriga F a ser mínima é $N_{1}$ = 0Isolando o cilindro, C temos:- Horizontal $F_{min} = m * a_{min} = N_{3} * cos 60 - N_{3} (I)$Isolando o cilindro A, temos:- Horizontal: $F_{min} = m* a_{min} = N_{2} * cos 60 - N_{3} *sen30 (II)$- Vertical: $N_{2} * cos30 + N_{3} *sen60 = m*g (III)$Resolvendo o sistema, encontramos $a_{min} = \frac{g \sqrt{3} }{9}$
Obrigando a força F seja máxima,$N_{3}$ , deve tender a 0, já que, para uma força F limite, o bloco A estaria "rolando" por cima do bloco B, perdendo o contato com o bloco C. Dessa forma, a condição que obriga F a ser máxima é $N_{3} = 0$Isolando o cilindro A:- Horizontal: $F_{max} = m* a_{max} = N_{2} *sen30 (IV)$- Vertical: $m*g = N_{2} *cos30 (V)$Resolvendo o sistema, encontramos $a_{max} = \frac{g \sqrt{3} }{3}$.Logo, o intervalo de valores da aceleração para o qual os cilindros não perdem o contato é:$\frac{g \sqrt{3} }{9} \ \textless \ a \ \textless \ \frac{g \sqrt{3} }{3}$Que é a resposta do item "a" já racionalizada.Veja que o intervalo deve ser aberto, já que as acelerações máxima e mínima que encontramos obrigam as normais a serem 0, o que não é nosso objetivo. Nos apenas o fizemos para achar os limites do intervalo.
R: Alternativa A
É isso espero ter ajudado, bons estudos!

Answer 2

Boa noite

Em uma situação hipotética, onde não haveria a situação da força F, se o conjunto fosse abandonado do repouso, o cilindro de cima iria descer e promover a separação dos cilindros de baixo.
A partir da situção hipotética, podemos concluir que, com a atuação da força F, teremos uma aceleração mínima quando o cilindro de cima inciar a descida e os cilindros de baixo ficarem na iminência de perder o contato entre si. Podemos concluir também, a partir da situação hipotética que, com atuação da força F, teremos uma aceleração máxima quando o cilindro de cima tender a se deslocar para cima do cilindro de baixo da esquerda e ficar na iminência de perder o contato com o cilindro de baixo da direita.
Em ambos os casos podemos escrever:

$R=m_{total}\cdot a \longrightarrow F = 3m\cdot a$

A aceleração mínima
Os cilindros de baixo perdem o contato entre si e o cilindro de cima.
Desenhando as forças que atuam nos cilindros: (FIGURA 1)

Analisando o cilindro de cima (projeção vertical), teremos:
$N\cdot cos\ 30\° +f\cdot cos\ 30\° = P \\ \\ \boxed{(N+f)\cdot \dfrac{ \sqrt{3}}{2}= m\cdot g}\ (i)$

Analisando o cilindro da direita (projeção horizontal), teremos:
$R=m\cdot a \longrightarrow N\cdot cos\ 60\° = m\cdot a \\ \\ \boxed{N=2m\cdot a}\ (ii)$

Analisando o cilindro da esquerda (projeção horizontal), teremos:
$R=m\cdot a \longrightarrow F-1\cdot cos\ 60\° = m\cdot a \\ \\ F-\dfrac{f}{2}=m\cdot a$

Mas como F=3m.a, temos

$3m\cdot a-\dfrac{f}{2} = m\cdot a \\ \\ \boxed{f=4m\cdot a}\ (iii)$

Substituindo (ii) e (iii) na equação I, temos:

$(N+f)\dfrac{ \sqrt{3} }{2}=m\cdot g \longrightarrow (2ma+4ma) \dfrac{ \sqrt{3} }{2}=mg \\ \\ 6m\cdot a\dfrac{ \sqrt{3}}{2}=m\cdot g \\ \\ \boxed{\boxed{a_{minima}=\dfrac{g}{3 \sqrt{3} }}}$

Aceleração máxima
Analisando o cilindro da esquerda (projeção da horizontal), teremos:

$R=m\cdot a \longrightarrow N\cdot cos\ 60\° = m\cdot a \\ \\ \boxed{N=2m\cdot a}\ (iv)$

Analisando o cilindro da esquerda (projeção vertical) teremos:
$f\cdot sen\ 60\° = P \longrightarrow f\cdot \dfrac{ \sqrt{3}}{2} = m\cdot g \\ \\ \boxed{f = \dfrac{2mg}{ \sqrt{3}}}\ (v)$

igualando a equação (iv) e (v):

$2ma=\dfrac{2mg}{ \sqrt{3}} \\ \\ \boxed{\boxed{a_{maxima}=-\dfrac{g}{ \sqrt{3}}}}$


Conclusão:

$\boxed{\boxed{\dfrac{g}{3 \sqrt{3}} \leq a \leq \dfrac{g}{ \sqrt{3}}}}$

alternativa (A)

Bons estudos =D