Question

Os valores próprios de uma matriz ao quadrado são os mesmos que o da própria matriz?

Answer 1

Não! Uma matriz elevada ao quadrado não é o mesmo que elevar cada termo separadamente ao quadrado!

Por exemplo seja a matriz A:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$

Os valores próprios elevado ao quadrado resulta na seguinte matriz:

$A = \left[\begin{array}{ccc} 1^{2}&2^{2}&3^{2}\\4^{2}&5^{2}&6^{2}\\7^{2}&8^{2}&9^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&4&9\\16&25&36\\49&64&82\end{array}\right]$

Agora elevar a matriz ao quadrado resulta na seguinte matriz:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]^{2} = \left[\begin{array}{ccc}30&36&42\\66&81&96\\102&126&150\end{array}\right]$

São diferentes as respostas!