Question

Prove a seguinte equação:

(-1) * (-1) = 1

Utilizando apenas a definição de multiplicação.

Obs: Se for necessário utilizar alguma propriedade, é necessário prová-la a partir da definição como aplicável aos números presentes.
Exemplos de propriedades (Comutatividade, Associatividade,Distributividade,Elemento Neutro, Elemento Opositor, Fechamento, Anulação ...)

Answer 1

Axioma (definição do elemento oposto)

O oposto de um inteiro m é definido pelo único inteiro que satisfaz $m+x=0$

Notação: $x=-m$
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Para provar que $(-1)\cdot(-1)=1$, provaremos a proposição:

Sejam a e b dois números inteiros. Então:

$(i)\,\,\,\,\,-(-a)=a\\(ii)\,\,\,\,\,(-a)b=-(ab)$

Demonstração:

(i) diz que a é o oposto de -a.

Isso de fato ocorre e parte direto da definição de oposto, pois se x é o oposto de a, então satisfaz $a+x=0$, que pode ser reescrita, pela propriedade comutativa da adição, como $x+a=0$, logo a é o oposto de x = -a, e portanto é indicado por notação por -(-a)

Para provarmos (ii), basta verificarmos que (-a)b satisfaz $ab+x=0$

Pela propriedade distributiva, temos que

$ab+(-a)b=[a+(-a)]\cdot b$

Como -a é o oposto de a, por definição, então $a+(-a)=0$

$ab+(-a)b=0\cdot b$

Pela propriedade da aniquilação, $0\cdot b=0$, logo

$ab+(-a)b=0$

Então, (-a)b é o oposto de ab, logo, por notação, $(-a)b=-(ab)$.
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Finalmente, verificaremos que (-1)(-1) = 1:

Se chamarmos b = -1, temos que

$(-1)\cdot(-1)=(-1)\cdot b\stackrel{(ii)}{=}-(1\cdot b)$

Pela existência do elemento neutro na multiplicação, $1\cdot b=b$

$(-1)\cdot(-1)=-(1\cdot b)\\\\(-1)\cdot(-1)=-(b)\\\\(-1)\cdot(-1)=-(-1)$

Em (i), verificamos que -(-a) = a, logo

$(-1)\cdot(-1)=-(-1)=1\,\,\,\blacksquare$