Question

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esses dois lados, então eles são congruentes.?

Answer 1

Sim, e podemos verificar isso

Olhe a imagem em anexo: Nela temos dois triângulos com as características apresentadas, e queremos verificar se x = k*c

No primeiro triângulo, vamos aplicar a lei dos cossenos:

$\mathsf{c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,cos\,\theta\,\,\,\Longrightarrow}\,\,\,\boxed{\boxed{\mathsf{c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\,cos\,\theta}}}}$

Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos no segundo triângulo:

$\mathsf{x^{2}=(ka)^{2}+(kb)^{2}-2(ka)(kb)\,cos\,\theta}\\\\\mathsf{x^{2}=k^{2}a^{2}+k^{2}b^{2}-2k^{2}ab\,cos\,\theta}$

Colocando $\mathsf{k^{2}}$ em evidência, temos

$\mathsf{x^{2}=k^{2}\cdot\big(a^{2}+b^{2}-2ab\,cos\,\theta\big)}$

Tirando a raiz quadrada, tendo que $\mathsf{x\,\textgreater\,0}$ e $\mathsf{k\,\textgreater\,0}$:

$\mathsf{x=\sqrt{k^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\,cos\,\theta}}\\\\\mathsf{x=k\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\,cos\,\theta}}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{x=k\cdot c}}}$

Portanto, os dois triângulos são congruentes.