Question

Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. Área do setor circular: ASC = αR2 2 , α em radianos. A área da região S, em unidades de área, é igual a:

Answer 1

Segundo a questão tem - se dois holofotes iguais , situados em h1 e h2 , respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio "r". Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região "s" de intensidade luminosa maior. (imagem 1)


Então para calcular a área da região S, precisamos somar o setor circular da circunferência formada pelo holofote H2 com o setor circular da circunferência formada pelo holofote H1. (imagem 2)


Depois iremos somar a região formada pelo paralelogramo 2 vezes, então precisamos subtrair apenas uma vez esse paralelogramo, que é formado por dois triângulos equiláteros , então temos:


$As = 2A_{setor circ} - A_{paralelogramo}$


A área do setor circular é:


$A_{setor circ} = \pi *r^{2} * \frac{120}{360}$


$A_{setor circ} \frac{ \pi r^{2} }{3}$



Agora á area do paralelogramo é


$A_{paralelogramo} = 2A_{triangulo}$



Agora para calcular a área do triangulo, deve lembrar que todo triângulo equilátero possui seus ângulos congruentes e iguais a 60 graus (imagem 3)


$A_{triangulo} = r*r* sen 60 * \frac{1}{2}$


$A_{triangulo} = \frac{r^{2} * \sqrt{3} }{4}$



Agora sim pode calcular a area do paralelogramo


$A_{paralelogramo} = 2 * \frac{r^{2} * \sqrt{3} }{4}$



Para finalizar so tem que substituir, lembrando que As = 


$As = 2A_{setor circ} - A_{paralelogramo}$



$As = \frac{ \ 2 \pi r^{2} }{3} - \frac{r^{2} * \sqrt{3} }{4}$



A alternativa correta é a letra A

Answer 2

Resposta:

Letra A

Não desistam, é uma questão difícil mas depois de entendida a resolução é simples. Aqui detalhei o passo-a-passo por isso ficou extenso.

Explicação:

Uma outra possibilidade de resolução:

Área do segmento = Área do setor circular - Área do triângulo

Utilizando como base a imagem apresentada acima pela outra pessoa que respondeu, podemos ver que além de ser um paralelogramo pode ser ao mesmo tempo dois triângulos equiláteros opostos. Dito isso, se pegarmos metade do triângulo de cima + metade do de baixo, forma o tal triângulo da fórmula acima (Área do segmento = Área do setor circular - Área do triângulo ), assim, como os ângulo internos tem o valor de 60º, o ângulo formado então é 120º.

Agora é só usar a fórmula, acharemos a área de UM segmento, depois esse valor será multiplicado por 2 pois são dois segmentos.

Então fica assim:

alfa= 120º porém em radianos fica: 2pi/3

área do setor: alfa . R² / 2

2pi/3 . R² /2

área do setor = 2piR²/6

---

Agora área do triângulo

Seno de alfa

alfa= 120º

Seno de 120º = Seno de 60 º pois são ângulos correspondentes

Fica raiz de 3/2 positivo pois o seno é positivo no segundo quadrante

área do triângulo= R² . sen 120º /2

R² . raiz de 3/2/2

Fica raiz de 3 /4

(daria o mesmo caso calculássemos a área do triangulo equilatero)

área do segmento = 2piR²/6 - raiz de 3/4

4piR² - 3raiz de3 R²/12

Achamos a área de UM segmento, agora é só multiplicar por 2 e simplificar pois as opções de respostas estão representadas de forma simplificada

(4piR² - 3raiz de3 R²/12) . 2

área S= 2piR²/3 - raiz de 3 R²/2