Question

Se (n+1)!+n! = 1 , então n é igual a:
------------- ---
(n+2)! 9

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

PF DEIXEM OS CÁLCULOS DE MODO PASSO A PASSO PRECISO MUITO ENTENDER ESSA QUESTÃO...

Answer 1

$\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{9}$

Observe que:

$(n+2)!=(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!$

$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$

Substituindo:

$\dfrac{(n+1)\cdot n!+n!}{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}=\dfrac{1}{9}$

Colocando $n!$ em evidência:

$\dfrac{n!\cdot[(n+1)+1]}{n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{9}$

Podemos simplificar o numerador e o denominador por $n!$

$\dfrac{(n+1)+1}{(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{n+2}{(n+2)\cdot(n+1)}=\dfrac{1}{9}$

Simplificando $n+2$:

$\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{9}$

Desse modo:

$n+1=9~\longrightarrow~n=9-1~\longrightarrow~\boxed{n=8}$

$\text{Alternativa C}$

Answer 2

O símbolo ! significa fatorial, por exemplo, 6! = 6x5x4x3x2x1. Assim:

$\dfrac{(n+1)! + n!}{(n+2)!} = \dfrac{1}{9}$
 $\longrightarrow \dfrac{(n+1)!}{(n+2)!} + \dfrac{n!}{(n+2)!} = \dfrac{1}{9}$
$\longrightarrow \dfrac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!} + \dfrac{n!}{(n+2)(n+1)n!} = \dfrac{1}{9}$
$\longrightarrow \dfrac{1}{n+2} + \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{1}{9}$
$\longrightarrow \dfrac{n+1 + 1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{9}$
$\longrightarrow \dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{9}$
9 = n+1
$\boxed{n=8}\checkmark$
Assim Letra C está correta.

Espero ter ajudado!