Question

Teoria dos números. Critério de divisibilidade.

Seja a um algarismo e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n

     n = 10b + a

(a é o algarismo das unidades de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).


Nessas condições, justifique a proposição

     b + 2a é divisível por 19 se, e somente se, n é divisível por 19.

Answer 1

Olá Lukyo.


Provando a ida.

Se 19 divide b + 2a, então 19 divide n.

Temos que:

19 | b + 2a

Queremos que apareça um 10b + a, etão multiplique o dividendo por 10 para que apreça um 10b.

19 | 10 . (b + 2a)

19 | 10b + 20a

19 | 10b + a + 19a

19 | n + 19a

Note que 19 divide 19a, então como 19 divide uma parcela, ímplica que ele dividirá a outra.

Para deixar mais explícito.

19 | n + 19a - 19a

19 | n

Logo, se 19 divide b + 2a, então 19 divide n.


Provando a volta.

Se 19 divide n, então 19 divide b + 2a.

Temos que:

19 | n

19 | 10b + a

Queremos que apareça b + 2a, então multiplique o dividendo por 2 para obtermos 2a.

19 | 2 . (10b + a)

19 | 20b + 2a

19 | (b + 2a) + 19b

Note que 19 divide 19b, logo, como 19 divide uma parcela, então ele tem que dividir a outra.

Portanto:

19 | b + 2a

Portanto, se 19 divide n, então 19 divide b + 2a.


Concluindo o que queríamos provar.

Answer 2

Para quaisquer a e b temos que 19 | 19(b + a)

Se 19 | 10b + a, podemos afirmar que 19 | 19(b + a) - (10b + a), ou seja, 19 | 9b + 18a

Colocando 9 em evidência, vemos que 19 | 9(b + 2a). Como mdc(19, 9) = 1, 19 e 9 são primos entre si, logo 19 | b + 2a

Analogamente, se 19 | b + 2a, então 19 | 19(b + a) - 9(b + 2a), isto é, 19 | 10b + a