Question

Teoria dos números. Critério de divisibilidade.

Seja a um algarismo e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n

     n = 10b + a

(a é o algarismo das unidades de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).


Nessas condições, justifique a proposição

     b + 7a é divisível por 23 se, e somente se, n é divisível por 23.

Answer 1

Para quaisquer a e b temos que 23 | 23(b + a)

Se 23 | 10b + a, podemos afirmar que 23 | 23(b + a) - 2(10b + a), ou seja, 23 | 3b + 21a

Colocando 3 em evidência, vemos que 23 | 3(b + 7a). Como mdc(23, 3) = 1, 23 e 3 são primos entre si, logo, 23 | b + 7a


Analogamente, se 23 | b + 7a, segue que 23 | 23(b + a) - 3(b + 7a), isto é, 23 | 20b + 2a.

Colocando 2 em evidência, notamos que 23 | 2(10b + a), logo 23 | 10b + a

Answer 2

Olá Lukyo.


Provando a ida.


Se 23 divide b + 7a, então 23 divide n.


Temos que:


23 | b + 7a

23 | 10 . (b + 7a)

23 | 10b + 70a

23 | (10b + a) + 69a

23 | n + 69a - 23 . 3a

23 | n


Portanto, se 23 divide b + 7a, então b divide 10b + a.


Provando a volta.


Se 23 divide n, então 23 divide b + 7a


23 | 10b + a

23 | 10b + a + 69a

23 | 10b + 70a

23 | 10 . (b + 7a)


Como mdc(10, 23) = 1, então 23 divide b + 7a.

23 | b + 7a.


Logo, se 23 divide n, então 23 divide b + 7a.


Portanto, 23 divide n, se, e somente se, 23 divide b + 7a.



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