Question

Se $x + \frac{1}{x} = b$ , calcule $x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }$

Answer 1

Olá

Podemos fazer da seguinte forma

Perguntemos o que será necessário para atingir tal expressão partindo do que temos

Neste caso, como chegaríamos a uma expressão, sendo que não é possível simplesmente potencializá-la

Visto que, ao potencializá-la, acabaríamos tendo uma expressão maior

Desta maneira, encontre o excesso

$\mathtt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-y}\\\\\\ \mathtt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+2\cdot\left(x\cdot \dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}-y}$

Potencialize os termos e multiplique-os

$\mathtt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}-y}$

Mude a posição dos termos variáveis a partir da incógnita x, alterando seus sinais

$\mathtt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=2-y}$

Reduza os termos semelhantes

$\mathtt{0=2-y}$

Mude a posição do termo independente, alterando seu sinal

$\mathtt{-y=-2}$

Multiplique ambos os termos por um fator (-1)

$\mathtt{-y=-2~~(-1)}\\\\\\ \mathtt{y=2}$

Desta forma, encontramos a expressão que pode definir o que se busca

Lembrando que
$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=b}$

Temos que

$\boxed{\boxed{\mathsf{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=b^{2}-2}}}$