Question

Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H, ilustrado na figura acima, e os vetores b, c, d, e, f, g, h, todos com origem em A e extremidades respectivamente em B, C, D, E, F, G, e H.
Com base mas informações apresentadas, determine qual é o vetor cujo produto escalar com f igual a 0 (zero).

#explicação pfv#

Answer 1

Essa tarefa pode ser respondida sem precisar fazer cálculos. Basta apenas lembrar dos conceitos de produto escalar e ortogonalidade entre vetores.


     •  Definição: Dados dois vetores $\overset{\to}{\mathbf{v}},\,\overset{\to}{\mathbf{w}}$ do espaço ℝ³, definimos o produto escalar entre $\overset{\to}{\mathbf{v}}$ e $\overset{\to}{\mathbf{w}}$ como sendo

     $\overset{\to}{\mathbf{v}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{w}}=\|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|\cdot \|\overset{\to}{\mathbf{w}}\|\cdot\cos\theta$

onde θ é o ângulo convexo formado pelas direções dos dois vetores (0 ≤ θ ≤ 180°).


     •  Critério de ortogonalidade entre dois vetores:

Dizemos que dois vetores $\overset{\to}{\mathbf{v}},\,\overset{\to}{\mathbf{w}}$ do espaço ℝ³ são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles é igual a zero:

     $\overset{\to}{\mathbf{v}}\perp\overset{\to}{\mathbf{w}}\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{\to}{\mathbf{v}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{w}}=0.$


Equivalentemente, dois vetores são ortogonais se, e somente se, o ângulo θ entre eles é igual a 90° ou algum dos vetores for nulo. Isso porque cos 90° = 0.

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Nesta tarefa, temos

     $\overset{\longrightarrow}{AB}=\overset{\to}{\mathbf{b}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AC}=\overset{\to}{\mathbf{c}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AD}=\overset{\to}{\mathbf{d}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AE}=\overset{\to}{\mathbf{e}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AF}=\overset{\to}{\mathbf{f}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AG}=\overset{\to}{\mathbf{g}}\\\\ \overset{\longrightarrow}{AH}=\overset{\to}{\mathbf{h}}$


O vetor cujo produto escalar com $\overset{\to}{\mathbf{f}}$ é igual a zero é o vetor que forma um ângulo de 90° com $\overset{\to}{\mathbf{f}}.$


Dentre os vetores listados, o único que satisfaz a condição acima é o vetor $\overset{\to}{\mathbf{d}},$ pois obviamente a aresta AD é perpendicular à diagonal AF de uma das faces do cubo.

     $\overset{\longrightarrow}{AD}\perp\overset{\longrightarrow}{AF}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \overset{\longrightarrow}{AD}\cdot \overset{\longrightarrow}{AF}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad\overset{\to}{\mathbf{d}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{f}}=0$


Resposta:  $\overset{\to}{\mathbf{d}}.$


Bons estudos! :-)