Question

três números que estão em PG, tem soma 105 e produto 27.000. Determine esses números.

Answer 1

Olá.

Temos, nesse caso, uma PG de três termos que pode ser escrita convenientemente como:

(x / q, x, xq)

Onde x é um termo a ser descoberto e q a razão da sequência.

O produto dos termos é 27000. Dessa forma:

(x/q) . x . (xq) = 27000

x³ = 27 . 1000

x = 3 . 10

x = 30


Assim, a PG é:

(30/q, 30, 30q)

Como a soma é 105, temos que:

30/q + 30 + 30q = 105. (multiplicamos por q≠0)

30 + 30q + 30q² - 105q = 0

30q² - 75q + 30 = 0

6q² - 15q + 6 = 0

Observação interessante, as duas razões diferentes indicam que teremos duas PG's, mas se pegarmos (a, b, c) e (c, b, a), teremos mesma soma e produto, que são as duas PG's, logo, as razões dessas será o inverso uma das outra.

∆ = (-15)² - 4.6.6
∆ = 225 - 144
∆ = 81

q' e q" = (15 ± 9)/12

q' = 24/12 = 2
q" = 6/12 = 1/2

Assim, teremos:

(30/2, 30, 30.2) = (15, 30, 60)

e

(30/½ , 30, 30.½) = (60, 30, 15)


De qualquer modo, os números são:

15, 30 e 60.