Question

(UFRS) Para que valores reais de k a equação na variá­ vel x, x² + (k — 1)x + k²= 0 admite raízes reais e iguais?

Answer 1

Equação x² + (k — 1)x + k²

a = 1; b= (k-1); c= k^2

Delta = b^2 – 4.a.c = 0 (o delta é zero para raízes reais e iguais)

(k-1)^2 – 4.1.K^2 =0

K^2 -2.k + 1^2 – 4.K^2 = 0

K^2  – 4.K^2  -2.k + 1= 0

- 3K^2 – 2K + 1 = 0 (chegamos a uma segunda equação do 2º grau, da qual temos que achar os valores de K)

a = -3; b= -2; c= 1

Delta = 16

K’ = - (-2) + raiz de 16 / 2.(-3) = 2 + 4 / -6 = -1

K’’ = - (-2) - raiz de 16 / 2.(-3) = 2 – 4 / -6 = 2/6 = 1/3

Espero que seja isso. 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Eduarda, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se: para que valores reais de "k" a equação abaixo, na variável "x", admite raízes reais iguais:

x² + (k-1)x + k² = 0

ii) Veja: uma função do 2º grau admite raízes reais iguais se e somente se o seu delta (b²-4ac) for IGUAL a zero. Então vamos impor que o delta da função acima seja igual a zero. Note que o delta (b²-4ac) da função acima é este: (k-1)² - 4*1*k² ------ Portanto, vamos impor que este delta seja igual a zero. Assim:

(k-1)² - 4*1*k² = 0 ------ desenvolvendo, teremos:
k²-2k+1 - 4k² = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
-3k² - 2k + 1 = 0 ---- para facilitar a operacionalização, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

3k² + 2k - 1 = 0 ----- agora vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

k = [-b ± √(Δ)]/2a ------ sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, temos:
k = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Veja que a equação tem os seguintes coeficientes: a = 3 ---(é o coeficiente de k²); b = 2 --- (é o coeficiente de k); c = -1 --- (é o coeficiente do termo independente). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

k = [-2 ± √((-2)² - 4*3*(-1))]/2*3
k = [-2 ± √(4 + 12)]/6
k = [-2 ± √(16)]/6 ----- como √(16) = 4, teremos:
k = [-2 ± 4]/6 ----- daqui você já conclui que:

k' = (-2-4)/6 = -6/6 = -1 <--- Este é um possível valor de "k"
k'' = (-2+4)/6 =2/6 = 1/3 <-- Este é outro possível valor de "k".

iii) Assim, como você viu, "k" poderá ser igual a "-1" ou "1/3" para que a função dada tenha duas raízes reais e iguais. Ou seja, teremos que:

k = -1; ou k = 1/3 <--- Esta é a resposta. Em outras palavras, isso significa que se k = -1 ou se k = 1/3, a função dada terá duas raízes reais iguais.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.