Question

(UnB-DF) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo — AMD, sabendo que M é ponto médio de BC

Answer 1

Vamos utilizar as propriedades dos triângulos retângulos e os arcos da circunferência.

Na figura, note que há 2 triângulos retângulos BAC e CDB. Note que o ponto M é a mediana das hipotenusas dos dois triângulos. Uma propriedade interessante dos triângulos retângulos é que eles sempre estão inscritos numa semi-circunferência onde seu diâmetro é igual a hipotenusa do triângulo.
Sendo assim, a semi-circunferência de diâmetro BC (logo, raio BM = CM) passa também pelos pontos A e C.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º, então o ângulo DCB vale 60º. O ângulo DCA vale 40º - 20º = 20º. Este ângulo corresponde ao arco AD da semi-circunferência. Note que o ângulo AMD também corresponde ao mesmo arco AD.

DCA é um ângulo inscrito que vale a medida do arco AD dividido por 2.
AMD é um ângulo central que vale a medida do arco AD. Portanto:
$AD = 2DCA \\ AD = AMD \\ \\ 2DCA = AMD \\ AMD = 2*20 = 40$

AMD vale 40º.