Question

Determinar o centro e o raio de cada uma das circunferências apresentadas a seguir? a) x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 b)x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jessika, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para determinar o centro e o raio de cafa uma das circunferências apresentadas a seguir:

a) x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0; e
b) x² + y² - 8x + 7 = 0 .

ii) Antes de iniciar, veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, terá a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)

Vamos deixar "guardadinha" a expressão (I) acima, pois daqui a pouco iremos precisar dela.

iii) Agora vamos para cada uma das equações da sua questão:

iii.a) x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 ---- Veja: para encontrarmos a equação reduzida, vamos formar os quadrados. Para isso, vamos ordenar, ficando:

x² - 6x + y² + 4y - 12 = 0 ---- agora formaremos os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que surgirão em função da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x-3)² - 9 + (y+2)² - 4 - 12 = 0 ---- ordenando, teremos:
(x-3)² + (y+2)² - 9 - 4 - 12 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
(x-3)² + (y+2)² - 25 = 0 ---- passando "-25" para o 2º membro, temos:
(x-3)² + (y+2)² = 25 ---- note que 25 = 5². Assim, teremos:
(x-3)² + (y+2)² = 5² <--- Esta é a equação reduzida da circunferência do item "a". Faça a comparação da equação acima com aquela que deixamos "guardadinha" lá na expressão (I). Pela comparação entre as duas equações (a da expressão (I) e a expressão acima encontrada) você já deverá ter concluído que a circunferência do item "a" tem centro (C) e raio (r) iguais a:

C(3; -2) e r = 5  <--- Esta é a resposta para a circunferência do item "a".

iii.b) x² + y² - 8x + 7 = 0 ---- vamos ordenar para formar os quadrados:

x² - 8x + y² + 0y + 7 = 0 ---- (note que, como não há coeficiente para "y", colocamos "0y" para complementar). Agora vamos formar os quadrados, com aquele mesmo cuidado de subtrairmos aqueles valores que forem acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim teremos:

(x-4)² - 16 + (y+0)² - 0² + 7 = 0 ---- ordenando, teremos:
(x-4)² + (y+0)² - 16 + 7 = 0
(x-4)² + y² - 9 = 0 ---- passando "-9" para o 2º membro, teremos:
(x-4)² + y² = 9 ----- veja que 9 = 3². Assim:
(x-4)² + y² = 3²  <--- Esta é a equação reduzida da circunferência do item "b".  A exemplo da questão anterior, se você fizer a comparação entre a equação acima encontrada e aquela da nossa expressão (I), que deixamos  "guardadinha" lá no início, você já poderá concluir que a circunferência do item "b" tem centro e raio iguais a:

C(4; 0) e r = 3 <--- Esta é a resposta para a circunferência do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

C(3; -2) e r = 5  <--- Esta é a resposta para a circunferência do item "a".