Question

Dado o polinômio P(x)=3x³+mx²+nx+2, determine m e n, sendo P(0)=P(i).

Answer 1

P(0) é o valor do polinômio quando substítuimos x por 0

P(x)=3x³+mx²+nx+2
P(0)=3.0³+m.0²+n.0+2
P(0)=3.0+m.0+n.0+2
P(0)=2

Só que P(i)=P(0)

P(i)=P(0)
P(i)=2
3i³+mi²+ni+2=2
3i³+mi²+ni=2-2
3i³+mi²+ni=0
3x³+mx²+nx=0 (um novo polinômio)

Porém, você deve lembrar das relações de Girard.
A soma dos valores de x que fazem com que um polinômio dê 0 corresponde à:
x'+x"+x"'=-b/a

Em que "b" é o segundo coeficiente, ( o "m"), e "a" é o primeiro coeficiente, o 3.
(*coeficiente é o número do lado do x)

x'+x"+x"'=-b/a
i+x"+x"'=-b/a

Existe uma propriedade que diz que se "i" faz o valor de polinômio ser zero, "-i" também faz.

i+(-i)+x"-=-b/a

Só que para x=0, esse novo polinômio também dará zero.

i+(-i)+0=-b/a
i-i=-b/a
0=-b/a
0=-b
0=b

Lembre que b=m

m=0

Uma outra relação de Girard é:

x'.x"+x'.x'"+x".x"'=c/a

c é o terceiro coeficiente, o "n"

i.(-i)+i.0+(-i).0=c/a
-i²=c/a

Como i=√(-1)

-√(-1)²=c/a
-(-1)=c/a
1=c/a

Lembre que a=3 e c=n

1=n/3
3=n