Question

A equação de a reta tangente ao gráfico da função F(x) = X^3 - 3X^2 - 2X + 5 no ponto de abicissa X = 1 é?

A) y = -2X + 1
B) y = -5X + 1
C) y = -5X + 6
D) y = 3X^2 - 6X - 2
E) y = ( 3X^2 - 6X - 2 ) ( X - 1 ) + 1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Josias, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se a equação da reta que é tangente ao gráfico da função abaixo, no ponto de abscissa igual a "1":

f(x) = x³ - 3x² - 2x + 5

ii) Veja, se o ponto tem abscissa igual a "1", vamos, primeiro encontrar qual será a ordenada nesse ponto. Para isso, vamos na equação dada e substituiremos o "x" por "1". Vamos apenas repetir a equação dada, que é esta:

f(x) = x³ - 3x² - 2x + 5  ---- substituindo-se "x" por "1", teremos:
f(1) = 1³ - 3*1² - 2*1 + 5
f(1) = 1 - 3*1 - 2 + 5
f(1) = 1 - 3 - 2 + 5 ----- efetuando esta soma algébrica, temos:
f(1) = 1 <--- Este é o valor da ordenada "y" no ponto onde a abscissa "x" é igual a "1".

Assim, o ponto de tangência será o ponto (1; 1).

iii) Agora vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico acima. Para isso, primeiro vamos encontrar o coeficiente angular da derivada da função dada [f(x) = x³ - 3x² - 2x +5].
Encontrando a derivada, teremos:

f'(x) = 3x² - 6x - 2 <--- Esta é a derivada da função dada.
E, como queremos é o coeficiente angular da RETA que passa no ponto de abscissa igual a "1", então vamos substituir o "x" por "1" na derivada acima encontrada.
Fazendo isso, teremos:

f'(1) = 3*1² - 6*1 - 2
f'(1) = 3*1 - 6*1 - 2
f'(1) = 3 - 6 - 2
f'(1) = 3 - 8
f'(1) = - 5 <----- este será o coeficiente angular da RETA que é tangente ao gráfico da equação originalmente dada.

iv) Agora vamos encontrar a equação da reta que é tangente ao gráfico da equação dada, no ponto (1; 1).

Antes veja que, quando já se conhece o valor do coeficiente angular (m) de uma reta e um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), a sua equação será encontrada da seguinte forma

y - y₀ = m*(x - x₀)

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da RETA que é tangente ao gráfico da função dada, que tem coeficiente angular igual a "-5" (m = -5) e que passa no ponto (1; 1) será encontrada assim:

y - 1 = -5*(x-1)  ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
y - 1 = - 5x + 5 ----- passando "-1" para o 2º membro, teremos:
y = - 5x + 5 + 1
y = - 5x + 6 <---- Esta é a resposta. Opção "c".  Ou seja, a equação da RETA tangente ao gráfico da equação dada originalmente é a que ora fornecemos aí em cima.

Pronto, amigo Josias, editamos a nossa resposta para dar a opção correta. É que quando fiz inicialmente, não "reparei" que o que estava sendo pedido era a equação da RETA. E a que havíamos dado inicialmente era a equação de uma outra curva que, embora também tangente à equação originalmente dada, mas não era a equação de uma RETA. E agora, está tudo ok, pois a resposta que demos é realmente a equação de uma RETA. Perdoe-me pelo transtorno inicial, rsrsrs....

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.