Question

Um teleférico de 3 km de extensão liga o ponto
A até o topo de uma montanha, como mostra a
figura abaixo.

Outra opção de ascensão à montanha é caminhar 2 km até chegar a base da montanha (no ponto B),
e de lá iniciar a escalada. Sabendo que para cada metro percorrido sobre a montanha corresponde um deslocamento horizontal de 50 cm, determine.

(Use para a resolução das questões: 2 √1,4,
6 √2,4 e 3 √1,7).

A) a distância total percorrida por um turista que saindo de A e passando por B, chegou ao cume da montanha.

B) Altura aproximada da montanha.

Answer 1

Vamos utilizar a trigonometria e Pitágoras para resolver.

Chame o topo da montanha de ponto C, e perpendicularmente a ele, na base da montanha, o ponto D. Formamos dois triângulos retângulos ACD e BCD.
Chame BD = x e CD = h, equacione por Pitágoras:
$AC^2 = AD^2+CD^2 \\ 3^2 = (2+x)^2+h^2 \\ h^2 +x^2+4x+4-9 = 0 \\ h^2 = 5 - 4x - x^2 \\ \\ BC^2 = CD^2 + BD^2 \\ BC^2 = x^2 + h^2 \\ BC^2 = x^2 + (5-4x-x^2) \\ BC^2 = 5-4x$

O enunciado diz que para cada metro sobre a montanha (segmento BC), desloca-se 50cm na horizontal (BD). Temos uma proporção entre BC e BD:
$BC = 2BD = 2x \\ BC^2 = 5-4x \\ 4x^2 = 5 - 4x \\ 4x^2 +4x - 5 = 0$

Resolvendo por Bhaskara, encontramos:
$x1 = \dfrac{-4 + \sqrt{96} }{8} =\dfrac{-4 + 4 \sqrt{6}}{8}= 0,7$

Como x2 é negativo, descartamos seu valor. Portanto x = BD = 0,7km.
Agora achamos h:
$h^2 = 5 - 4x - x^2 \\ h^2 = 5 - 4*0,7 - 0,7^2 \\ h^2 = 1,71 \\ h = \sqrt{1,71} = 1,31km$

Letra A
Saindo de A para B e escalando a montanha em BC, a distância percorrida é de:
2 + 0,7*2 = 3,4km

Letra B
A altura da montanha é de 1,31km.