Question

Considere o sistema linear S, de incógnitas x e y:
S=a1x + b1y = c1
a2x+b2y = c2
Se os pares ordenados (x , y) = (3 , -5) e (x , y) = (2 , -3) são soluções de S, então:

a) (-3 , 7) também é solução de S.
b) (3 , -7) também é solução de S.
c) S só tem as duas soluções apresentadas.
d) S só tem mais uma solução além das apresentadas.
e) Qual par ordenado de números reais é solução de S.

Gab alt A

Answer 1

Considere o sistema linear  S  de incógnitas  x, y:

     $S:~\left\{\!\begin{array}{l}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2 \end{array}\right.$


Se os pares ordenados  (3, − 5)  e  (2, − 3)  são soluções de  S,  então ao substituir cada um desses pares nas duas equações, ambas as equações do sistema são satisfeitas simultaneamente.

Mas observe que  S  é um sistema linear de  2  equações  e  2  incógnitas.  Logo, se  S  possui mais de uma solução, podemos concluir que  S  possui infinitas soluções, ou seja,  S  é um sistema possível e indeterminado (SPI).

Eliminamos as alternativas  c)  e  d).


Geometricamente, cada equação de um sistema de  2  equações e  2  incógnitas representa uma reta no plano cartesiano.  Como o sistema é  SPI,  as retas são coincidentes.

As duas equações são equivalentes e representam a mesma reta. Esta reta passa pelos pontos  (3, − 5)  e  (2, − 3).

Como temos dois pontos, podemos achar uma equação para esta reta a seguir:

     $y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)\\\\\\ y-(-5)=\dfrac{-3-(-5)}{2-3}\cdot (x-3)\\\\\\ y+5=\dfrac{-3+5}{2-3}\cdot (x-3)\\\\\\ y+5=\dfrac{2}{-1}\cdot (x-3)\\\\\\ y+5=-2\cdot (x-3)\\\\ y+5=-2x+6\\\\ 2x+y=6-5$

     $2x+y=1$          ✔


Dentre as alternativas apresentadas, outra solução para a equação acima é o par  (− 3, 7),  pois

     $2\cdot (-3)+7=1$

ou seja,  o par  (− 3, 7)  também satisfaz a equação  2x + y = 1.


Resposta:  alternativa  a)  (− 3, 7)  também é solução de  S.


Bons estudos! :-)