Question

Sobre números reais, é correto afirmar: (01) Se m é um inteiro divisível por 3 e n é um inteiro divisível por 5, então m + n é divisível por 15. (02) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7. (04) Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é ímpar. (08) Se x e y são números reais positivos, então existe um número natural n tal que n >y\x . x (16) Se x é um número real positivo, então x2> x. (32) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.

Answer 1

Olá.

 

Transcrevo as assertivas, justificando-as adequadamente. Desde já, cito que um contraexemplo é suficiente para invalidar uma assertiva com generalização. Vamos aos desenvolvimento.

 

(01) Se m é um inteiro divisível por 3 e n é um inteiro divisível por 5, então m + n é divisível por 15.

Incorreto.

 

Vamos testar com os números 9 e 25. A soma será 24, que não é divisível por 15.

 

- O correto seria: “Se m é um inteiro divisível por 3 e n é um inteiro divisível por 5, então m * n é divisível por 15.”

Vamos chamar de m o múltiplo de 3, tal que esse múltiplo seja obtido através de uma multiplicação com x. Teremos:

 

m = 3x

 

Vamos chamar de n o múltiplo de 5, tal que esse múltiplo seja obtido através de uma multiplicação por y. Teremos:

 

n = 5y

 

Se multiplicarmos esse valor, teremos:

 

$\mathsf{m\cdot n=3x\cdot5y=15xy}$

 

Como 15 acompanha o produto de xy, temos que é verdadeira assertiva que lhe dei.

 

(02) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.

Correto.

 

Se um número é divisível por 7, logo, ele é composto por 7. Chamarei esse múltiplo de n, enquanto nomearei de m o número que multiplica o 7 para gerar n. Teremos:

 

n = 7m

 

Elevando n ao quadrado, teremos:

 

$\mathsf{n^2=(7m)^2=7^2m^2}$

 

Com isso, temos que 7 continua sendo um múltiplo.

 

(04) Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é ímpar.

Incorreto.

 

Como contraexemplo, temos 3 divido por 2, onde o resto será ímpar, mas “n é par”. Isso é suficiente para falsear a afirmação, sem usar módulos.

 

- O correto seria: "Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é par."

(08) Se x e y são números reais positivos, então existe um número natural n tal que n >y\x . x

Correto.

 

Ponderando que o conjunto dos números naturais está dentro do conjunto dos reais, além de que o conjunto dos números naturais é infinito, essa assertiva é possível.

 

(16) Se x é um número real positivo, então x2> x.

 

Incorreto. Para o caso de x = 1 isso não é correto.

 

1² > 1

1 > 1

 

“Um não é maior que um, mas sim igual”.

- A afirmação correta seria: $\mathsf{x^2\geq x}$

 

(32) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.

 

Incorreto.

 

Dentro do conjunto dos números irracionais estão as raízes quadradas com resultados não exatos. Para invalidar a assertiva, basta um contraexemplo, como o que apresento:

 

$\mathsf{\sqrt[4]{\mathsf{a^7\cdot b}}\cdot\sqrt[4]{\mathsf{a^{-3}\cdot b^3}}=\sqrt[4]{\mathsf{a^{7+(-3)}\cdot b^{1+3}}}=\sqrt[4]{\mathsf{a^4\cdot b^4}}=a\cdot b}$

 

O resultado deu um valor real, não irracional. Com o modelo desse contraexemplo é possível formular outros vários alterando os expoentes e até o índice.

 

Com isso, temos que apenas as assertivas 02 e 08 são verdadeiras.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$