Question

Sendo f:R-> R,g:R->R,h:R->] 0, +oo[ e q: ] 0, +oo[->Ras funções definidas por f(x)=x2-5x, g(x)=3x-1, h(x)=2xe q(x)=-log2x, é correto afirmar: (01) A função h é a inversa da função -q. (02) A função q é crescente. (04) O conjunto imagem da função goh é ] -~, 1 [ . (08) Os gráficos das funções f e g se intersectam em exatamente dois pontos. (16) Para qualquer x > 5, tem-se q(f(x)) = q(x) + q(x - 5). (32) O perímetro do triângulo cujos vértices são a origem do plano cartesiano e os pontos de interseção do gráfico da função g com os eixos coordenados é igual av;10 +4u c 3 ' '

Answer 1

Olá para resolver a questão vamos analisar e graficar a função, tem-se que:


1 - Verdadeira: ao resolver a função onde, se 

$q(x) = - log_{2} x$ então

$-q(x) = r(x) = log_{2} x$

Se nessa função troca x por y, e, y por x, temos:

$x= log_{2} y$

$y = 2^{x}$


$(-q(x))^{-1} = h(x)$



2- Falsa:  porque ao graficar a função $q(x) - log_{2} x$   pode observar que q(x)  é uma função decrescente (Imagem 1)



4- Falsa, sabendo que a função $goh(x) = 3(2^{x}) -1$ ao resolver


$goh(x) = 3(2^{x}) -1 3(2^{x} ) -1 = 0$


$3(2^{x}) = 1$


$(2^{x}) = \frac{1}{3}$


$x = log_{2} ( \frac{1}{3} )$


Entào ao graficar pode-se observar que o conjunto imagem da função goh é :


$] -1, {\infty}$ e não  $- {\infty}, 1[$  (Imagem 2)



8- Falsa: Ao graficar as funções f e g, pode observar que se intersectam nos pontos onde  $f(x) = g(x)$ então pode-se determinar o valor de x:


$x^{2} - 5x = 3x-1$


$x^{2} -8 x +1 = 0$


$x = \frac{8 +- \sqrt{64-4} }{2}$


$x = \frac{8 +- \sqrt{60} }{2}$


$x= 4+- \sqrt{15}$


Então para y:

$y = 3(4- \sqrt{15} ) -1 = (11 - 3 \sqrt{15} ) \ \textless \ 0$ ou


$y = 3(4+ \sqrt{15}) -1 = (11 + 3 \sqrt{15} ) \ \textgreater \ \ 0$


Os pontos de intersecção são 


$((4- \sqrt{15}) , (11-3 \sqrt{15}))$ e


$((4+ \sqrt{15}) , (11+3 \sqrt{15}))$  


Pode observar na imagem 3 a representação grafica


Então pode ser dito que; sendo  

f: R → R

g:   R → R,

h :  R → ] 0 

+∞[ eq:]0, 

+∞[ → R 

As funções definidas por: 


$f(x) = x^{2} -5x g(x) = 3x-1 h(x) = 2^{x} q(x) = -log_{2}x$     é correto afirmar que  os gráficos das funções f e g se intersectam em exatamente dois pontos.






16 - Verdadeira:  pode ser afirmada ao resolver as funções com igualdades, sendo:

$f(x) = x^{2} -5x$

$q(x) = -log_{2}x$  então 

$q(f(x)) = q (x) + q(x-5)$

tem-se que:


$q(fx)) = -log_{2} ( x^{2} -5)$  e 


$q(f(x)) = q(x) + q(x-5) = -log_{2} x -log_{2}(x-5_$


$log_{2} ( x^{2} - 5x) = -log_{2}x -log_{2} (x-5)$  I equação


A condição de existência dessa igualdade é dada porque:

$x^{2} -5x \ \textgreater \ 0$ e $x-5\ \textgreater \ 0$ o que significa que  $x\ \textgreater \ 5$


Agora tem que desenvolver o segundo membro da igualdade (equação I)

$-log_{2} ( x^{2} -5) = -log_{2}x -log_{2} (x-5)$


$-log_{2} ( x^{2} -5) = -[ log_{2}x +log_{2} (x-5)]$


$log_{2} ( x^{2} -5) = log_{2} ( x^{2} -5)$


Logo a igualdade  $q(f(x)) = q(x) + q(x-5)$ o que representa que é verdadeira para todo por que  x > 5.



32- Verdadeira: Ao graficar a função  de  $g(x) = 3x-1$ (imagem 4) pode observar que tem uma reta chamada BC e é dada por:


$BC = \sqrt{( \frac{1}{3} - 0)^{2} + (0+1)^{2} }$


$BC= \sqrt{ \frac{1}{9} +1} = \frac{ \sqrt{10} }{3}$


Então  $AB = \frac{1}{3}$ e $AC = 1$


Pelo tanto o perimetro do triângulo vai ser dado pelo soma de BC + AB+AC

$ABC = \frac{ \sqrt{10} }{3} + \frac{1}{3} + 1$


$ABC = \frac{ \sqrt{10} + 4 }{3} u.c$

Answer 2

Passe cada uma de acordo com a ordem