Question

Verifique que o polinômio $q(x)$
divide $p(x)$ sendo:

$q(x) = {x}^{9} + {x}^{8} + {x}^{7} + ... + {x}^{2} + x$

$p(x) = {x}^{9999} + {x}^{8888} + {x}^{7777} + ... + {x}^{2222} + {x}^{1111}$

#Cálculo e explicação

Answer 1

São dados os seguintes polinômios:

$q(x)=x^9+x^8+...+x\\\\ p(x)=x^{9999}+x^{8888}+...+x^{1111}$

Queremos verificar se q(x) divide p(x), o que é equivalente a mostrarmos se todas as raízes de q(x) também são raizes de p(x). Seguindo esse procedimento, vamos tentar encontrar as raízes de q(x). Para isso, utilizaremos o seguinte lema:

Lema: Se $w_n\neq1$ é uma n-ésima raiz da unidade, isto é, $w_n^n=1$, então $w_n$ é raiz do polinômio $p_n(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+...+1$.

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Prova: Podemos escrever:

$p_n(w_n)=w_n^{n-1}+w_n^{n-2}+...+1$

Podemos considerar que $p_n(w_n)$ representa a soma dos termos de uma PG. Como $w_n\neq1$:

$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\\\\ p_n(w_n)=1\cdot\dfrac{w_n^n-1}{w_n-1}\\\\ p_n(w_n)=\dfrac{w_n^n-1}{w_n-1}$

Pela definição dada, $w_n^n=1$. Logo:

$p_n(w_n)=\dfrac{1-1}{w_n-1}\Longrightarrow p_n(w_n)=0$

Como queríamos demonstrar.

Obs: Como há n-1 raízes n-ésimas da unidade diferentes de 1 e $p_n(x)$ é de grau n-1, essas raízes da unidade são todas as raízes do polinômio.

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Vamos analisar q(x):

$q(x)=x^9+x^8+...+x\\\\ q(x)=x(x^8+x^7+...+1)$

Pelo que vimos anteriormente, as raízes de q(x) são 0 e as raízes nonas da unidade. Agora vamos conferir se também são raizes de p(x):

--- Para $x=0$:

$p(0)=0^{9999}+0^{8888}+...+0^{1111}\\\\ p(0)=0$

--- Para $x=w_9$:

$p(w_9)=w_9^{9999}+w_9^{8888}+...+w_9^{1111}\\\\ p(w_9)=w_9^{9\cdot1111}+w_9^{9\cdot987+5}+w_9^{9\cdot864+1}+w_9^{9\cdot740+6}+\\+w_9^{9\cdot617+2}+w_9^{9\cdot493+7}+w_9^{9\cdot370+3}+w_9^{9\cdot246+8}+w_9^{9\cdot123+4}\\\\ p(w_9)=(w_9^9)^{1111}+(w_9^9)^{987}\cdot w_9^5+(w_9^9)^{864}\cdot w_9+(w_9^9)^{740}\cdot w_9^6+\\+(w_9^9)^{617}\cdot w_9^2+(w_9^9)^{493}\cdot w_9^7+(w_9^9)^{370}\cdot w_9^3+(w_9^9)^{246}\cdot w_9^8+(w_9^9)^{123}\cdot w_9^4$

$\\\\p(w_9)=1^{1111}+1^{987}\cdot w_9^5+1^{864}\cdot w_9+1^{740}\cdot w_9^6+\\+1^{617}\cdot w_9^2+1^{493}\cdot w_9^7+1^{370}\cdot w_9^3+1^{246}\cdot w_9^8+1^{123}\cdot w_9^4\\\\ p(w_9)=1+w_9^5+w_9+w_9^6+\\+w_9^2+w_9^7+w_9^3+w_9^8+w_9^4\\\\ p(w_9)=1+w_9+w_9^2+...+w_9^8$

Pelo lema que vimos, $p(w_9)=0$

Portanto, todas as raízes de q(x) são raízes de p(x), donde se conclui que q(x) divide p(x). $\blacksquare$