Question

(FAAP-SP) calcule os valores de a b e c para que o polinômio P1(x)=a(x+c)³ + b(x+d) seja idêntico a P2(X)=x³+15x + 14

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Karinysilva, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para determinar os valores de "a", "b", "c" e "d" para que o polinômio P₁(x) = a*(x+c)³ + b*(x+d) seja idêntico ao polinômio P₂(x) = x³+15x + 14. Como o polinômio do 1º membro vai ter o coeficiente de x² e não temos este coeficiente no polinômio P₂(x), então vamos complementar esse coeficiente com "0". Assim, o polinômio P₂(x) ficará tendo a seguinte escrita:
P₂(x) = x³ + 0x² + 15x + 14.

ii) Veja, primeiro vamos tomar o polinômio P₁(x) e vamos desenvolvê-lo. Assim teremos que:

P₁(x) = a*(x+c)³ + b*(x+d) ---- desenvolvendo, temos:
P₁(x) = a*(x³+3cx²+3c²x+c³) + b*(x+d) --- agora efetuando os produtos indicados, ficaremos com:

P₁(x) = ax³ + 3acx² + 3ac²x + ac³ + bx + bd ---- vamos ordenar segundo as potências de "x", ficando assim:

P₁(x) = ax³ + 3acx² + 3ac²x+bx + ac³+bd ---- colocando o "x" em evidência nos fatores "3ac²x+bx" iremos ficar assim:

P₁(x) = ax³ + 3acx² + (3ac²+b)x + ac³+bd

iii) Como queremos que os polinômios sejam idênticos,então vamos igualá-los. Assim, teremos que:

P₁(x) = P₂(x) ---- substituindo cada um por suas representações, teremos:

ax³ + 3acx² + (3ac²+b)x + ac³+bd = x³ + 0x² + 15x + 14

Agora veja: vamos comparar os coeficientes correspondentes de "x" do primeiro membro com os do segundo membro. Ou seja: no primeiro membro, o coeficiente de x³ é "a" e, no segundo membro, o coeficiente de x³ é "1"; no primeiro membro o coeficiente de x² é "3ac" e, no segundo membro, o coeficiente de "x²'' é "0"; no 1º membro o coeficiente de "x" é "3ac+b" e, no segundo membro, o coeficiente de "x" é "15"; e finalmente, no 1º membro o termo independente é " ac³+c " e, no segundo membro, o termo independente é "14".
Então teremos:

a = 1                    . (I)
3ac = 0              . (II)
3ac²+b = 15      . (III)
ac³ + bd = 14    . (IV)

Agora veja: como já temos que a = 1, conforme a expressão (I), então vamos na expressão (II) e substituiremos "a" por "1". A expressão (II) é esta:

3ac = 0 ----- substituindo-se "a' por "1", teremos:
3*1*c = 0
3c = 0
c = 0/3
c = 0 <--- Este é o valor de "c".

Agora vamos na expressão (III), que é esta:

3ac²+b = 15 --- substituindo-se "a" por "1" e "c" por "0", teremos:
3*1*0² + b = 15
3*1*0 + b = 15
0 + b = 15 --- ou apenas:
b = 15 <--- Este é o valor de "b".

Finalmente, vamos na expressão (IV), que é esta:

ac³ + bd = 14 ---- substituindo-se "a' por "1", "c" por "0" e "b" por "15", teremos:

1*0³ + 15*d = 14
1*0 + 15d = 14
0 + 15d = 14 --- ou apenas:
15d = 14
d = 14/15 <--- Este é o valor de "d".

iv) Assim, resumindo, temos que os valores de "a", "b", "c" e "d" são estes:

a = 1; b = 15; c = 0; d = 14/15 <--- Esta é a resposta. Ou seja, estes são os valores pedidos de "a", "b", "c" e "d" para que os dois polinômios sejam idênticos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.