Question

Assunto: inequações do 2º grau ; Dada a função f(x) = -3x² + x + 7, determine os valores reais de x para que se tenha f(-1) ≥ f(x+3).

Answer 1

Olá sou o Saulo e vim te ajudar!!!

primeiro encontramos f(-1)

f(-1)=$-3.(-1)^{2} +(-1)+7$ 

f(-1)=$-3-1+7=3$

f(-1)=3

agora vamos encontrar f(x+3)

f(x+3)=$-3. (x+3)^{2} +x+3+7$

$(x+3)^{2} = x^{2} +6x+9$

f(x+3)=$-3( x^{2} +6x+9)+x+3+7$
f(x+3)=$-3 x^{2} -18x-27+x+3+7$
f(x+3)=$-3 x^{2} -17x-17$

ele quer f(-1) Maior igual que f(x+3)

$3 \geq -3 x^{2} -17x-17$
$0\geq -3 x^{2} -17x-17-3$
$-3 x^{2} -17x-20 \leq 0$

pela formula de bhaskara:
Δ=$17^{2} -4*(-3)*(-20)=49$

valores de x:
$x,= \frac{17+7}{-6}=-4$
$x,,= \frac{17-7}{-6} = \frac{10}{-6} = \frac{5}{-3}$

temos os zeros :
 $x,=-4$
$x,,= \frac{5}{-3}$

fazendo o mapa dos sinãis

------------(-4)+++++++++++++++($\frac{5}{-3}$)------

ele quer os valores menores que zero então o intervalo e
{x ∈ R / X≤4 E 5≥X}

Answer 2

$f(x) = -3x^2 + x + 7$

1) Calculando f(-1):

$f(x) = -3x^2 + x + 7 \\ \\ f(-1) = -3 \cdot (-1)^2 + (-1) + 7 \\ \\ f(-1)=-3-1+7 \\ \\ f(-1)=3$

2) Calculando f(x+3):

$f(x) = -3x^2 + x + 7 \\ \\ f(x+3) = -3 \cdot (x+3)^2 + (x+3) + 7 \\ \\ f(x+3)= -3 \cdot (x^2+3x+3x+9)+x+3+7 \\ \\ f(x+3)=-3 \cdot (x^2+6x+9)+x+10 \\ \\ f(x+3)=-3x^2-18x-27+x+10 \\ \\ f(x+3)=-3x^2-17x-17$

3) Determinando os valores reais de x para que se tenha f(-1) ≥ f(x+3):

$f(-1) \geq f(x+3) \\ \\ 3 \geq -3x^2-17x-17 \\ \\ 3+3x^2+17x+17 \geq 0 \\ \\ 3x^2+17x +20 \geq 0 \\ \\ a=3 \\ b=17 \\ c=20$

3.1) Resolvendo por  fórmula de Bhaskara:

$x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \\ \\ x= \dfrac{-17 \pm \sqrt{17^2 -4 \cdot 3 \cdot 20} }{2 \cdot 3} \\ \\ x= \dfrac{-17 \pm \sqrt{289 -240}}{6} \\ \\ x= \dfrac{-17 \pm \sqrt{49}}{6} \\ \\ x= \dfrac{-17 \pm 7}{6} \\ \\ x_1 = \dfrac{-17 +7}{6} = -\dfrac{10}{6} = -\dfrac{10 \div 2}{6 \div 2} = -\dfrac{5}{3} \\ \\ x_2= \dfrac{-17 -7}{6} = -\dfrac{24}{6} = -4$

4) Estudo dos sinais:

--------( $-4$ )++++++++( $- \dfrac{5}{3}$ )--------

(imagem em anexo)

Logo,

$x \geq - \dfrac{5}{3} \\ \\ x \leq -4$


Bons estudos!