Question

determine o menor número que devemos subtrair do resultado da expressão $a^{4} +3 b^{2} + c^{3}$ , de modo a obtermos um número que seja divisivel por 9,sabendo que os numeros a,b e c , quando divididos por 9, deixam restos respectivamente iguais a 4,1 e 5 (divisibilidade)

Answer 1

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\mathsf{a^4+3b^2+c^3}$

 

Podemos reescrever essas incógnitas em forma de um valor composto. Se em uma divisão por “d” um número deixa resto, podemos afirmar que esse número é composto pelo quociente vezes o divisor mais o resto. Algebricamente, temos:

 

$\mathsf{a|d=q\equiv r}\\\\\mathsf{a=(db+r)}$

 

Legenda: “a” dividido por “d” tem quociente “q” e deixa resto “r”. No final, “a” equivale ao produto do divisor (d) com o quociente (q) mais o resto (r).

 

Com base nisso, podemos reescrever todos os valores dados, adicionando as incógnitas “m”, “n” e “p”. Teremos:

 

$\begin{cases}\mathsf{a=}&\mathsf{(9m+4)}\\\\\mathsf{b}=&\mathsf{(9n+1)}\\\\\mathsf{c}=&\mathsf{(9p+5)} \end{cases}$

 

Reescrevendo a expressão, com essas novas formas, teremos:

 

$\mathsf{a^4+3b^2+c^3=}\\\\\mathsf{(9m+4)^4+3(9m+1)^2+(9p+5)^3}$

 

Agora, temos dois produtos notáveis comuns e um binômio com expoente de grau 4. Para encontrar o menor número a ser retirado, primeiro, devemos “ter uma forma final”, ou seja, devemos ter uma forma onde os valores não estejam abreviados.

 

Os cálculos dos produtos notáveis e do binômio de grau 4 são essenciais. Como os dois produtos notáveis são comuns, desenvolvo apenas um termo geral apenas o binômio de grau quatro, pois nos demais uso o termo geral que já é comum.

 

$~~~~\mathsf{(a+b)^2\longrightarrow a^2+2ab+b^2}\\\\\\ ~~~~\mathsf{(a+b)^3\longrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\\\\\\ \mathsf{(a+b)^4=(a+b)^4}\\\\ \mathsf{(a+b)^4=(a+b)^2\cdot(a+b)^2}\\\\ \mathsf{(a+b)^4=(a^2+2ab+b^2)\cdot(a^2+2ab+b^2)}\\\\ \mathsf{(a+b)^4=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4}\\\\\mathsf{(a+b)^4=a^4+b^4+2a^3b+2a^3b+a^2b^2+a^2b^2+4a^2b^2+2ab^3+2ab^3}\\\\ ~~~~\mathsf{(a+b)^4\longrightarrow a^4+b^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3}$

 

Vamos aos cálculos de cada binômio de forma individual, começando com a.

 

$\mathsf{(9x+4)^4=(9x+4)^4}\\\\ \mathsf{(9x+4)^4=(9x)^4+(4)^4+4(9x)^3(4)+6(9x)^2(4)^2+4(9x)(4)^3}\\\\ \mathsf{(9x+4)^4=6.561x^4+256+4(729x^3)(4)+6(81x^2)(16)+36x(64)}\\\\ \mathsf{(9x+4)^4=6.561x^4+256+16(729x^3)+96(81x^2)+2.304x}\\\\ \mathsf{(9x+4)^4=6.561x^4+256+11.664x^3+7.776x^2+2.304x}\\\\ \underline{\mathsf{(9x+4)^4=6.561x^4+11.664x^3+7.776x^2+2.304x+256}}$

 

Cálculo de b.

 

$\mathsf{3(9m+1)^2=3(9m+1)^2}\\\\ \mathsf{3(9m+1)^2=3((9m)^2+2(9m)(1)+1^2)}\\\\ \mathsf{3(9m+1)^2=3(81m^2+18m+1)}\\\\ \underline{\mathsf{3(9m+1)^2=243m^2+54m+3}}$

 

Cálculo de c.

 

$\mathsf{(9p+5)^3=(9p+5)^3}\\\\ \mathsf{(9p+5)^3=(9p)^3+3(9p)^2(5)+3(9p)(5)^2+(5)^3}\\\\ \mathsf{(9p+5)^3=729p^3+3(81p^2)(5)+3(9p)(25)+125}\\\\ \mathsf{(9p+5)^3=729p^3+(81p^2)(15)+(9p)(75)+125}\\\\ \underline{\mathsf{(9p+5)^3=729p^3+1.215p^2+675p+125}}$

 

Agora, o intuito agora é selecionar e colocar em evidencia os valores divisíveis por 9. Para facilitar na busca por esses valores, uso uma propriedade de divisibilidade por 9: “um número será divisível por 9 quando a soma de seus algarismos também for”.

 

Vamos colocar os valores de cada caso em evidência.

 

$\mathsf{(9x+4)^4=6.561x^4+11.664x^3+7.776x^2+2.304x+256}\\\\ \mathsf{(9x+4)^4=9(729x^4+1.296x^3+864x^2+256x)+256}\\\\\\ \mathsf{3(9m+1)^2=243m^2+54m+3}\\\\ \mathsf{3(9m+1)^2=9(27m^2+6m)+3}\\\\\\ \mathsf{(9p+5)^3=729p^3+1.215p^2+675p+125}\\\\ \mathsf{(9p+5)^3=9(81p^3+135p^2+75p)+125}$

 

Em todos os termos que foram colocados em evidência, houve divisibilidade por 9, logo, não precisamos mexer neles. De todos, apenas os valores inteiros sem incógnitas não foram divisíveis. Para encontrar o que o enunciado precisa, agora, podemos usar a seguinte expressão, onde “y” representa o menor número a ser retirado. Teremos:

 

$\mathsf{a^4+b^2+c^3-y=}\\\\\mathsf{256+3+125-y=}\\\\\mathsf{259+125-y=}\\\\\mathsf{384-y}$

 

Em relação a divisibilidade de 384 por 9, teremos:

 

$\mathsf{384|9=28\equiv6}$

 

Com isso, podemos definir que o menor número a ser subtraído é igual a 6. Vamos testar?

 

384 – y =

384 – 6 =

378

 

$\mathsf{378|9=42\equiv0}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$