Question

seja N o maior número natural tal que 574 dividido por N deixa resto 15 e 754 dividido por N deixa resto 23. assim , valor relativo do algarismo das desenas do número N é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samarasantos, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o valor relativo ao algarismo das dezenas do número "n", sabendo-se que esse número "n" é o maior valor natural tal que:

574 dividido por "n" deixa resto "15"
e
754 dividido por "n" deixa resto "23".

ii) Agora veja isto e não esqueça mais: em toda divisão isto ocorre:

D = d*q + R , em que "D" é o dividendo, "d" é o divisor, "q" é o quociente e "R" é o resto.

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então teremos isto no caso da questão proposta na sua questão:

574 = n*q₁ + 15 ---- passando "15" para o 1º membro, teremos:
574 - 15 = n*q₁
559 = n*q₁   --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
n*q₁ = 559
n = 559/q₁          . (I)

e

754 = n*q₂ + 23  ---- passando "23" para o 1º membro, temos:
754 - 23 = n*q₂
731 = n*q₂ --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
n*q₂ = 731
n = 731/q₂      . (II)

iii) Agora note isto:

Como as expressões (I) e (II) são iguais (note que ambas são iguais a "n"), então vamos igualá-las. Assim:

559/q₁ = 731/q₂ ------ Note que estas duas expressões só serão iguais se "n" for  o Máximo Divisor Comum (MDC) entre 559 e 731.

E há uma forma bem rápida (e segura) de calcularmos o MDC entre dois números, que é pelo método de divisões sucessivas. Ou seja, começaremos a dividir o número maior pelo número menor; e sempre que for havendo restos, dividiremos o último denominador por esse resto  até que o encontremos um resultado igual a zero. Então, o número, cujo divisor deu o resultado zero,  esse divisor será o MDC procurado.
Vamos fazer pra você ver como é simples:

731/559 = dá quociente igual a 1 e resto igual a 172;
559/172 = dá quociente igual a 3 e resto igual a 43;
172/43 = dá quociente igual a 4 e resto igual a "0".

Logo, o número 43 é o MDC entre os números 731 e 559.
Assim, o nosso número "n" será o número 43.

iv) Agora vamos, finalmente, dar a resposta que a questão pede, que é: qual é o algarismo das dezenas desse número "n".
Note que sendo n = 43 , então o algarismo das dezenas é o algarismo "4". Assim, o algarismo das dezenas pedido será:

4 <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, vamos ver se os números inicialmente dados, que foram 574 e 754, quando os dividirmos por "n" (que já acabamos de ver que esse "n" é igual a "43"), iremos encontrar restos "15" e "23", respectivamente. Vamos ver se isto é verdade:

574/43 = dá quociente igual a 13 e resto igual a 15 <--- perfeito. Fechou.
e
754/43 = dá quociente igual a 17 e resto igual a 23 <--- perfeito. Fechou também.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.