Question

2. Determine p ∈ R, de modo que z = 3 + (p^

2

−9)⋅i

seja um imaginário puro.

Answer 1

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\mathsf{z=3+(p^2-9)\cdot i}$

 

Foi dito em comentários que o intuito é chegar em um valor puramente real, ou seja, chegar em um número que não tenha partes imaginárias não nulas. De modo geral, podemos definir que o intuito é um valor que não tenha “i”.

 

O primeiro passo para essa questão é desenvolver a expressão de forma que tire o “i” que está em evidência. Teremos:

 

$\mathsf{z=3+(p^2-9)\cdot i}\\\\ \mathsf{z=3+ip^2-9i}$

 

Agora, devemos pensar:

 

Se dois valores são iguais e se diferem apenas pelo sinal, podemos anulá-los, logo também podemos afirmar que p² tem de ser igual a 9. Sendo assim, podemos definir o valor de p da seguinte maneira:

 

$\mathsf{p^2=9}\\\\ \mathsf{p=\sqrt{9}}\\\\ \mathsf{p=\pm3}$

 

Substituindo p por -3 e 3, podemos testar a veracidade desses valores. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{z'=3+i(3)^2-9i}\\\\\mathsf{z'=3+i9-9i}\\\\\boxed{\mathsf{z'=3}}\\\\\\\mathsf{z''=3+i(-3)^2-9i}\\\\\mathsf{z''=3+i9-9i}\\\\\boxed{\mathsf{z''=3}}$

 

Com, isso, temos que as possíveis soluções para p são -3 e 3.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$