Question

A figura a seguir representa um dodecágono
regular inscrito numa circunferência de raio 4.
Determine a forma algébrica dos números
complexos z2 e z8 cujos afixos são os pontos B e H
respectivamente

Answer 1

Olá.

O enunciado deseja a forma algébrica dos números complexos, ou seja, os complexos escritos na forma:

 

z = a + bi,

 

Onde:

     z é o número complexo;

     a é a parte real do número complexo;

     bi é a parte imaginária do número complexo.

 

O primeiro passo é descobrir o módulo (ρ) desse número complexo que ainda vamos conhecer. O módulo refere-se a hipotenusa de um triângulo retângulo. Na 1ª imagem que coloquei em anexo, destaco o módulo, representando-o pelo letra r, que significa “raio”. Nesse caso, podemos definir ρ como sendo igual a 4.

 

O segundo passo é descobrir o argumento principal (θ) desse número complexo que ainda vamos conhecer. O argumento refere-se ao ângulo central dos triângulos retângulo criados. Na 1ª imagem em anexo estão mais bem denotados esses triângulos retângulo. 

Para descobrir o tamanho de θ, podemos seguir diversos meios, como: (I) dividir o ângulo central da circunferência (360°, ou 2π) pela quantidade de lados (12); (II) dividir o ângulo de um quadrante (ou seja, ângulo reto, com 90° ou π/2) pela quantidade de “partes que o divide” na imagem, ou seja, 3 partes.

Em ambos os casos, o resultado será 30° ou π/6 (ver 2ª imagem em anexo, onde está representado 30° em rad).

 

Agora, vamos focar na Fórmula de Moivre. Usaremos as seguintes fórmulas:

 

$\mathsf{\theta_k=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\\\\\\ \mathsf{z_k=\rho\cdot cis=\rho\left(cos~\theta_k+i\cdot sen~\theta_k\right)}$

 

Onde:

     zₖ é cada um dos 12 números complexos;

     θₖ é o argumento de cada um dos 12 números complexos.

     n é a quantidade de raízes/número complexo, ou seja, 12.

 

No argumento de cada um dos complexos, podemos substituir o valor de k por 2 e 8, como foi dado pelo enunciado. O valor de θ a ser usado deverá ser π/6. Vamos aos cálculos do argumento de z₂.

 

$\mathsf{\theta_k=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+2\cdot2\pi}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+4\pi}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\left[\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+4\pi\cdot\dfrac{6}{6}\right]\div12}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\left[\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{24\pi}{6}\right]\cdot\dfrac{1}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\left[\dfrac{25\pi}{6}\right]\cdot\dfrac{1}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{25\pi\cdot1}{6\cdot12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{25\pi}{72}}$

 

Para converter esse ângulo em radianos (°), podemos substituir o valor de π por 180°. Teremos:

 

$\mathsf{\theta_2=\dfrac{25\pi}{72}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{25\cdot180^{\circ}}{72}}\\\\\\ \mathsf{\theta_2=\dfrac{45.000^{\circ}}{72}}\\\\ \mathsf{\theta_2=62,5^{\circ}}$

 

Agora, vamos ao cálculo do número complexo em sua forma algébrica. A primeira fórmula que igualei z foi ρ • cis, que é uma abreviação de ρ • (cos θ + i sen θ) para ajudar na memorização. Como descobrimos um ângulo não notável, o único meio que nos resta é usar uma Tabela Trigonométrica (3ª imagem em anexo) para obter valores para o seno e cosseno de 62° ou 63°, que são mais usuais que 62,5. Adotarei os valores para 62° (sen = 0,883; cos = 0,469). Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{z_k=\rho\cdot cis}\\\\ \mathsf{z_k=\rho\cdot\left(cos~\theta_k+i\cdot sen~\theta_k\right)}\\\\ \mathsf{z_2=4\cdot\left(cos~62^\circ+i\cdot sen~62^\circ\right)}\\\\ \mathsf{z_2=4\cdot\left(0,469+i\cdot 0,883\right)}\\\\ \mathsf{z_2=4\cdot0,469+4\cdot i\cdot 0,883}\\\\ \boxed{\mathsf{z_2=1,876+3,532i}}$

 

Agora, o mesmo processo feito para esse caso será feito para z₈. Vamos aos cálculos direto.

 

$\mathsf{\theta_k=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+2\cdot3\pi}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+6\pi}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\left[\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+6\pi\cdot\dfrac{6}{6}\right]\div12}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\left[\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{36\pi}{6}\right]\cdot\dfrac{1}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\left[\dfrac{37\pi}{6}\right]\cdot\dfrac{1}{12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\dfrac{37\pi\cdot1}{6\cdot12}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=\dfrac{37\pi}{72}}$

 

Convertendo para radianos (°), teremos:

 

$\mathsf{\theta_8=\dfrac{37\pi}{72}}\\\\\\\mathsf{\theta_8=\dfrac{37\cdot180^{\circ}}{72}}\\\\\\\mathsf{\theta_8=\dfrac{6.660^{\circ}}{72}}\\\\\\ \mathsf{\theta_8=92,5}$

 

Nesse caso, adotarei o ângulo como sendo igual a 92° (sen = 0,999; cos = -0,035). Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{z_k=\rho\cdot cis}\\\\ \mathsf{z_k=\rho\cdot\left(cos~\theta_k+i\cdot sen~\theta_k\right)}\\\\ \mathsf{z_8=4\cdot\left(cos~92^\circ+i\cdot sen~92^\circ\right)}\\\\ \mathsf{z_8=4\cdot\left(-0,035+i\cdot 0,999\right)}\\\\ \mathsf{z_8=4\cdot(-0,035)+4\cdot i\cdot 0,999}\\\\ \boxed{\mathsf{z_8=-0,14+3,996i}}$

 

Assim, temos as formas algébricas dos números complexos.

 

$\begin{cases} \mathsf{z_k=}&\mathsf{a+bi}\\\\ \mathsf{z_2=}&\mathsf{1,876+3,532i}\\\\ \mathsf{z_8=}&\mathsf{-0,14+3,996i} \end{cases}$

 

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Bons estudos.