Question

(Estudo dos limites laterais)

Calcule o limite.

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \Big(\dfrac{7}{10}\Big)^{tg(x)}}$

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(Não usar l'hôpital)

Justifique cada passagem.

Answer 1

Avaliar o limite

     $\lim\limits_{x\to\pi/2}\left(\dfrac{7}{10}\right)^{\!\tan x}$


Podemos reescrever a função em termos de exponencial e logaritmo:

     $\displaystyle=\lim_{x\to\pi/2}\exp\ln\bigg[\left(\frac{7}{10}\right)^{\!\tan x}\bigg]\\\\\\ =\lim_{x\to\pi/2}\exp\bigg[\tan x\cdot \ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\bigg]$


Como a função acima é contínua em uma vizinhança de  π/2,  podemos avaliar o limite do expoente:

      $\lim\limits_{x\to\pi/2}\tan x\cdot \ln\!\left(\dfrac{7}{10}\right)$


Atenção para o seguinte fato:  0 < 7/10 < 1,  portanto,  ln(7/10) < 0  (é negativo).


Podemos então avaliar os limites laterais da função que aparece no expoente:

     •  à esquerda:

     $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^{-}}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \tan x\\\\\\ =\lim_{x\to\pi/2^{-}}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}$


À esquerda de  π/2,  o seno tende a  1,  e o cosseno tende a zero, por valores maiores que zero. Portanto

    $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^-}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \tan x\\\\\\ =\lim_{x\to\pi/2^-}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\\ =\lim_{u\to 0^+}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \dfrac{1}{u}\\\\\\ =\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot (+\infty)\\\\\\ =-\infty$


Já à direita, o seno tende a  1,  mas o cosseno tende a zero por valores menores que zero:

     •  à direita:

     $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^+}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \tan x\\\\\\ =\lim_{x\to\pi/2^+}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\\ =\lim_{u\to 0^-}\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot \dfrac{1}{u}\\\\\\ =\ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\cdot (-\infty)\\\\\\ =+\infty$


Voltando à função original, concluímos que

     $f(x)=\exp\bigg[\tan x\cdot \ln\!\left(\dfrac{7}{10}\right)\bigg]$


     •  à esquerda de  π/2,  o expoente tende a menos infinito.  Portanto,

     $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^-}\exp\bigg[\tan x\cdot \ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\bigg]\\\\\\ =\lim_{u\to -\infty}\exp(u)\\\\\\ =0$


     •  Já à direita, o expoente tende a mais infinito:

     $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^+}\exp\bigg[\tan x\cdot \ln\!\left(\frac{7}{10}\right)\bigg]\\\\\\ =\lim_{u\to +\infty}\exp(u)\\\\\\ =+\infty$


Logo, o limite não existe.


Bons estudos! :-)