Question

resolva o sistema: x + 3y + z = 0
2x + 6y +z = 0
-x -3y -z = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jerfersom, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:

{x + 3y + z = 0      . (I)
{2x + 6y + z = 0     . (II)
{-x - 3y - z = 0      . (III)

ii) Antes de iniciar vale a pena tecermos alguns comentários sobre um sistema em que todas as suas equações são iguais a zero. Sistemas desse tipo têm, pelo menos, uma solução trivial, que seria para x = 0; y = 0; e z = 0. Se esse sistema tiver apenas a solução trivial trivial (x = 0; y = 0; e z = 0), então o sistema será considerado possível e determinado (SPD). Contudo, se esse sistema tiver outras soluções além da solução trivial, então ele será considerado como sistema possível e indeterminado (SPI).

iii) Então faremos o seguinte: tomaremos a expressão (I) e somaremos, membro a membro, com a expressão (III). Fazendo isso, teremos:

x + 3y + z = 0 --- [esta é a expressão (I) normal]
-x - 3y - z = 0 --- [esta é a expressão (III) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 0 + 0 = 0 --- ou apenas:
0 = 0

Veja: quando trabalhamos com um sistema e chegamos a uma situação como a que chegamos aí em cima (0 = 0), então já poderemos afirmar, SEM QUALQUER DÚVIDA, que o sistema será SPI, ou seja, será possível e indeterminado, pois ele admitirá, além da solução trivial (x = 0; y = 0 e z = 0) infinitas outras soluções.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.