Question

Qual o ângulo entre os vetores:

a⃗ =3i⃗ +3j⃗ +3k⃗ a→=3i→+3j→+3k→



b⃗ =2i⃗ +1j⃗ +3k⃗ b→=2i→+1j→+3k→

Answer 1

O ângulo entre dois vetores pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
$cos(\theta) = \dfrac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$

Onde o numerador corresponde ao produto escalar entre os vetores e o denominador é o produto dos módulos de cada vetor.
Calculando o produto escalar:
$a \cdot b = (3,3,3) \cdot (2,1,3) \\ a \cdot b = (3*2)+(3*1)+(3*3) \\ a \cdot b = 6+3+9 = 18$

Calculando os módulos e seu produto:
$|a| = \sqrt{3^2+3^2+3^2} \\ |a| = \sqrt{27} \\ \\ |b| = \sqrt{2^2+1^2+3^2} \\ |a| = \sqrt{14} \\ \\ |a| \cdot |b| = \sqrt{27} * \sqrt{14} = \sqrt{378} \\ |a| \cdot |b| = 3 \sqrt{42}$

Então o ângulo é:
$cos(\theta) = \dfrac{18}{3 \sqrt{42} } \\ \\ cos(\theta) = \dfrac{6}{\sqrt{42} } \\ \\ cos(\theta) = \dfrac{6 \sqrt{42} }{42} } \\ \\ cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{42} }{7} \\ \\ cos(\theta) = 0,9258 \\ \theta = cos^{-1}(0,9258) \\ \theta = 22,2 \º$