Question

Qual o volume do sólido limitado pelos planos y = 0, z = 0,
x = 0 e 6x +2y + 3z = 6?

( a ) 5 unidades de volume.
( b ) 4 unidades de volume.
( c ) 3 unidades de volume.
( d ) 2 unidades de volume.
( e ) 1 unidade de volume

Lembre-se que respostas só com a alternativa correta não são válidas.

Answer 1

Calcular o volume do sólido limitado pelos planos  y = 0,  z = 0,  x = 0  e  6x + 2y + 3z = 6.

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Solução:

O sólido em questão é um tetraedro, cujas faces estão contidas em cada um dos planos listados no enunciado, e cujos vértices são os pontos

     (0, 0, 0);  (1, 0, 0);  (0, 3, 0)  e  (0, 0, 2).


O ponto  (0, 0, 0)  é a interseção dos três planos coordenados.

Cada um dos outros três pontos  (1, 0, 0);  (0, 3, 0)  e  (0, 0, 2)  é a interseção do plano  6x + 2y + 3z = 6  com os eixos  Ox,  Oy  e  Oz,  respectivamente.

Veja a figura em anexo com o esboço do sólido de integração.


Vamos usar integrais triplas para calcular o volume do sólido.

Podemos descrever a região de integração de diversas formas (exatamente seis formas distintas). Abaixo segue uma das formas possíveis.


Projete o sólido sobre o eixo  Ox.  Na projeção,  x  varia no intervalo  [0, 1]:

     0 ≤ x ≤ 1.


Projete o sólido sobre o plano  xOy  (z = 0).  Dado um  x  qualquer no intervalo  [0, 1],  na projeção, você terá  y  variando entre duas funções de  x.

No plano  xOy,  y  varia da reta  x = 0  até a reta de equação  6x + 2y = 6.  Isolando  y  em função de  x,

     2y = 6 − 6x

     y = 3 − 3x


Logo, os limites de integração para a variável  y  são

     0 ≤ y ≤ 3 − 3x.


Considere o sólido no espaço. Dado um ponto  (x, y)  qualquer da projeção do sólido sobre o plano  xOy,  a variável  z  varia entre duas funções de  (x, y).

z  varia do plano  z = 0  (xOy)  até o plano de equação  6x + 2y + 3z = 6.  Isolando  z  em função de  (x, y),

     3z = 6 − 6x − 2y

     z = (1/3) · (6 − 6x − 2y)


Logo, os limites de integração para a variável  z  são

     0 ≤ z ≤ (1/3) · (6 − 6x − 2y).


Usando integrais triplas, a integral que fornece o volume do sólido será a integral da função constante  f(x, y, z) = 1  sobre o sólido  S:

     $\displaystyle V=\iiint_S 1\,dS\\\\\\ V=\iiint_S 1\,dz\,dy\,dx$


Escreva os limites das integrais iteradas na ordem descrita acima, e aplique o Teorema de Fubini:

     $\large\begin{array}{l}\displaystyle V=\int_0^1\int_0^{3-3x}\int_0^{\frac{1}{3}(6-6x-2y)} 1\,dz\,dy\,dx\end{array}$


Integre primeiro a função para a variável  z:

     $\large\begin{array}{l}\displaystyle V=\int_0^1\int_0^{3-3x} z\Big|_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-6x-2y)}\,dy\,dx\\\\\\ \displaystyle V=\int_0^1\int_0^{3-3x} \left(\frac{1}{3}(6-6x-2y)-0\right)dy\,dx\\\\\\ \displaystyle V=\frac{1}{3}\int_0^1\int_0^{3-3x} (6-6x-2y)\,dy\,dx\end{array}$


Agora, integre a função para a variável  y:

     $\displaystyle V=\frac{1}{3}\int_0^1\left(6y-6xy-2\cdot \dfrac{y^2}{2}\right)\bigg|_{y=0}^{y=3-3x}\,dx\\\\\\ V=\frac{1}{3}\int_0^1(6y-6xy-y^2)\bigg|_{y=0}^{y=3-3x}\,dx$

     $\displaystyle V=\frac{1}{3}\int_0^1\big[6(3-3x)-6x\cdot (3-3x)-(3-3x)^2-(6\cdot 0-6x\cdot 0-0^2)\big]\,dx$

     $\displaystyle V=\frac{1}{3}\int_0^1\big[6(3-3x)-6x\cdot (3-3x)-(3-3x)^2\big]\,dx\\\\\\ V=\frac{1}{3}\int_0^1\big[(18-18x)-(18x-18x^2)-(9-18x+9x^2)\big]\,dx\\\\\\ V=\frac{1}{3}\int_0^1\big[18-18x-18x+18x^2-9+18x-9x^2\big]\,dx\\\\\\ V=\frac{1}{3}\int_0^1(9x^2-18x+9)\,dx\\\\\\ V=\frac{1}{3}\int_0^1 9\cdot (x^2-2x+1)\,dx\\\\\\ V=3\int_0^1 (x^2-2x+1)\,dx$


Por último, integre para a variável  x:

     $\displaystyle V=3\cdot \left(\frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}+x\right)\bigg|_{x=0}^{x=1}\\\\\\ V=3\cdot \left(\frac{x^3}{3}-x^2+x\right)\bigg|_{x=0}^{x=1}\\\\\\ V=3\cdot \left(\frac{1^3}{3}-1^2+1\cdot 1\right)-3\cdot \left(\frac{0^3}{3}-0^2+0\right)\\\\\\ V=3\cdot \left(\frac{1}{3}-1+1\right)-0\\\\\\ V=3\cdot \frac{1}{3}$

     $V=1~\mathrm{u.v.}$


Resposta:  alternativa  (e)  1  unidade de volume.


Bons estudos! :-)