Question

Quando que 4ⁿ + n⁴ é composto para n inteiro positivo ?



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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1


Determinar para quais valores inteiros positivos de  n,  o número

     4ⁿ + n⁴

é composto.

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Para  n = 1,  temos

     $\mathsf{4^1+1^4}\\\\ =\mathsf{4+1}\\\\ =\mathsf{5}$

que é primo.


Para  n  par,  n ≥ 2,  temos

     $\mathsf{4^n+n^4\qquad\quad~com~n=2k,~~k\ge 1}\\\\ =\mathsf{4^{2k}+(2k)^4}\\\\ =\mathsf{(2^2)^{2k}+2^4\cdot k^4}\\\\ =\mathsf{2^{4k}+2^4\cdot k^4}\\\\ =\mathsf{2\cdot 2^{4k-1}+2\cdot 2^3\cdot k^4}\\\\ =\mathsf{2\cdot (2^{4k-1}+2^3\cdot k^4)}$

que é múltiplo de  2.  Logo, é composto.


Em particular, para  n  ímpar,  n ≥ 3,  acontece algo interessante com a soma:

     $\mathsf{4^n+n^4=(2^n)^2+(n^2)^2}$


Ao lado direito, some e subtraia  $\mathsf{2\cdot 2^n\cdot n^2}$  para completar um quadrado perfeito, e a expressão fica

     $\mathsf{4^n+n^4=(2^n)^2+2\cdot 2^n\cdot n^2+(n^2)^2-2\cdot 2^n\cdot n^2}\\\\ \mathsf{4^n+n^4=(2^n+n^2)^2-2\cdot 2^n\cdot n^2}\\\\ \mathsf{4^n+n^4=(2^n+n^2)^2-2^{n+1}\cdot n^2}\\\\ \large\begin{array}{l}\mathsf{4^n+n^4=(2^n+n^2)^2-(2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n)^2}\end{array}$


Fatore a diferença entre os quadrados:

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{4^n+n^4=(2^n+n^2-2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n)\cdot (2^n+n^2+2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n)\qquad(i)}\end{array}$


Observe que para todo  n  ímpar,  n ≥ 3,  você terá

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{2^n+n^2-2^{\frac{n+1}{2}}>1}\\\\ \mathsf{2^n+n^2+2^{\frac{n+1}{2}}>1}\end{array}$

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Justificativa:  Para todo  n  ímpar,  n ≥ 3,  você tem

     $\mathsf{2^n>\dfrac{n^2}{2}}$

     (exponenciais crescem mais rapidamente que polinômios)


Então,

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{2^{n+1}>n^2}\\\\ \mathsf{2^{\frac{n+1}{2}}>n}\\\\ \mathsf{2^{\frac{n+1}{2}}\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}>n\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}}\\\\ \mathsf{2^{\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}}>n\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}}\\\\ \mathsf{2^n>n\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}}\\\\ \mathsf{2^n-n\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}>0}\\\\ \mathsf{2^n-n\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}+n^2>n^2>1.}\end{array}$


Diretamente, segue que

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{2^n+2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n+n^2>1}\end{array}$

pois trata-se da soma de três números positivos.

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Sendo assim, para todo  n  ímpar,  n ≥ 3,  temos que

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{(2^n+n^2-2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n)\cdot (2^n+n^2+2^{\frac{n+1}{2}}\cdot n)}\end{array}$  é composto

     $\mathsf{\Longrightarrow\quad 4^n+n^4}$  é composto.

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Resposta:  4ⁿ + n⁴  é composto para todo  n ≥ 2.


Bons estudos! :-)