Question

Quantas soluções possui a equação 1/x+1/y=1/2015, com x e y inteiros e positivos?

Answer 1

Bom dia,

Vamos trabalhar a equação dada para resolver o problema.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}{2015}$

Tirando o minimo multiplo comum da parte anterior à igualdade:

$\frac{y+x}{x*y} = \frac{1}{2015}$

Enviando os denominadores para o outro lado da igualdade:

$2015*(x+y)=x*y \to 2015x+2015y=x*y$

Separando os termos "x" e "y" em lados opostos da igualdade:

$2015x=x*y-2015y \to 2015x=y*(x-2015)$

$y= \frac{2015x}{x-2015}$

Agora, segundo o enunciado, para que a equação acima seja solução, tanto "y" quanto "x" devem ser inteiros e positivos.

Para que "y" seja inteiro e positivo, existem algumas condições que "x" deve atender:

1) Tanto o denominador quanto o numerador do lado direito da equação devem ter o mesmo sinal.

2) A divisão entre "2015x" e "x-2015" deve resultar em um número inteiro.

Porém, assim como "y" deve ser inteiro e positivo, "x" também deve ser. Podemos observar pelo denominador do lado direito da igualdade que "x" deve ser maior que 2015:

$x \ \textgreater \ 2015$

Como temos uma multiplicação entre 2015 e "x" na parte de cima, para que "y" seja inteiro, basta que um dos termos seja divisível pelo denominador.

Vamos testar inicialmente com 2015:

$2015=1*5*13*31$

Os valores acima são os únicos que, presentes no denominador, dão uma divisão exata, com número inteiro para "y". Sendo assim, "x" deve ter os seguintes valores:

$x(2016;2020;2028;2046)$

Agora veremos que algo engraçado acontece quando aplicamos estes valores no termo "x" presente no numerador:

$x=2016 \to y= \frac{2015*2016}{2016-2015} = \frac{2015(2015+1)}{1}$

$x=2020 \to y= \frac{2015*2020}{2020-2015} = \frac{2015(2015+5)}{5}$

$x=2028 \to y= \frac{2015*2028}{2028-2015} = \frac{2015(2015+13)}{13}$

$x=2046 \to y= \frac{2015*2046}{2046-2015} = \frac{2015(2015+31)}{31}$

Como podemos observar, toda solução para 2015 é solução para "x" também.

Portanto as únicas soluções do problema são para x(2016;2020;2028;2046)!

Espero ter ajudado. Bons estudos!