Question

sabendo que -1 é raiz dupla da equação x^4+2x^3+2x^2+2x+1=0, quais as outras raízes em C

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) São pedidas as demais raízes no âmbito dos complexos da equação abaixo, sabendo-se que "-1' é uma raiz dupla dessa mesma equação:

x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 = 0

ii) Veja: se "-1" é uma raiz dupla da equação acima, isso significa que ela tem duas raízes reais e ambas iguais a "-1". Nesse caso, a equação dada será divisível (deixa resto zero) pelo produto de "x" menos cada uma das raízes iguais a "-1", ou seja, ela será divisível por:

(x-(-1))*(x-(-1) = (x+1)*(x+1) = x²+2x+1

iii) Agora vamos efetuar essa divisão pelo método tradicional, que é:

x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 |_ x²+2x+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  x² + 1 <--- quociente.
-x⁴-2x³ - x²
-----------------------------
0....0 + x² + 2x + 1
..........- x² - 2x - 1
----------------------------
............0.....0.....0 <---- resto. Veja que o resto teria que ser zero mesmo, pois toda equação é divisível por suas raízes.

iv) Agora vamos no quociente encontrado (x² + 1) e, a partir dele, vamos encontrar as outras duas raízes no âmbito dos complexos.
Para isso, faremos o quociente acima igual a zero, ou seja, teremos isto:

x² + 1 = 0  ----- passando "1" para o 2º membro, teremos;
x² = - 1
x = ± √(-1) ---- note que, nos complexos, √(-1) = i. Então ficaremos:
x = ± i ---- ou seja, as outras duas raízes (no âmbito dos complexos) serão estas:

x' = -i
x'' = i.

v) Assim, resumindo, temos que todas as 4 raízes da equação dada (duas reais e duas complexas) são estas:

x' = x'' = - 1 <--- Estas são as duas raízes reais duplas (ambas iguais a "-1")
x''' = - i  <--- Esta é uma das raízes complexas.
x'''' = i <---- Esta é a outra raiz complexa.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'=x''; x'''; x'''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-1; -i; i};

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.