Question

Ache a fração geratriz de cada dizima :1,555... e 1,1343434...

Answer 1

Olá amigo(a)! Vou ajudar!

Vamos encontrar a fração geratriz de cada dizima... 

Primeira dizima 1,5555555...

Sabendo que 0,55555...+1=1,5555

Temos que encontrar a fração geratriz de 0,5555..

Vou usar limite da Soma de termos de uma P.G para resolver 

Sendo a PG( 0,5 , 0,05  , 0,005 ....)

a razão dessa PG é (1/10)

Sendo a formula do limite da soma de termos:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q}$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{0,5}{1- \frac{1}{10} } = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9}$

Então a função geratriz da dizima 1,5555...  é:

$1+ \frac{5}{9} =  \frac{14}{9}$

Agora a segunda dizima 1,1343434

Então temos que será 

1,1+x=1,1343434....

Vamos usar novamente limite da soma de uma PG sendo a PG:

(0,034 , 0,00034...)

A razão então é 0,01

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{0,034}{1-0,01} = \frac{0,034}{0,99} = \frac{34}{990}$

Então a fração geratriz será;

$\frac{11}{10}+ \frac{34}{990} = \frac{1089+34}{990} = \frac{1123}{990}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Olá.

Temos as dízimas periódicas:

$\mathsf{1,\overline{555}=1+0,\overline{555}}\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=1+0,1\overline{343434}}$

Por conveniência, separei o valor inteiro do valor decimal. Para calcular a fração geratriz de uma dízima, seguimos as seguintes regras:

 

     No numerador temos que identificar o período, que é a parte que se repete.

     Em uma dízima composta, onde há números além do período (esses são chamados de antiperíodo), no numerador devemos subtrair o valor do antiperíodo de todo o conteúdo após a vírgula.

     No denominador, adicionamos um 9 para cada valor que se repete no período e um zero na direita para cada valor existente no antiperíodo.

 

Montando a fração geratriz, teremos:

 

$\mathsf{1,\overline{555}=1+0,\overline{555}}\\\\ \mathsf{1,\overline{555}=1+\dfrac{5}{9}}$

Agora, temos de somar o valor inteiro a fração. Por ser mais rápido, multiplicarei 1 por uma fração onde o numerador e o denominador é 9, para que sejam igualados os denominadores. Teremos:

$\mathsf{1,\overline{555}=1+\dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{1,\overline{555}=\dfrac{9}{9}\cdot1+\dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{1,\overline{555}=\dfrac{9}{9}+\dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{1,\overline{555}=\dfrac{9+5}{9}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{1,\overline{555}=\dfrac{14}{9}}}$

Farei o mesmo processo com a outra dízima, só que indo direto. Teremos:

$\mathsf{1,1\overline{343434}=1+0,1\overline{343434}}\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=1+\dfrac{134-1}{990}}\\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=1+\dfrac{133}{990}}\\\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=\dfrac{990}{990}\cdot1+\dfrac{133}{990}}\\\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=\dfrac{990}{990}+\dfrac{133}{990}}\\\\\\ \mathsf{1,1\overline{343434}=\dfrac{990+133}{990}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{1,1\overline{343434}=\dfrac{1.123}{990}}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos