Question

A solução da inequação x^2-5x+6/x^2-4x+4>=0 é:

a) x<2 ou x>=3
b) x<=2 ou x>=3
c) 2<=x<=3
d) 2

Answer 1

Resolver a inequação

     $\mathsf{\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}\ge 0}$


Vamos fatorar o numerador e o denominador por agrupamento.  No numerador, reescreva  − 5x  como  − 3x − 2x:

     $\mathsf{\dfrac{x^2-3x-2x+6}{x^2-4x+4}\ge 0}$


No denominador, reescreva  − 4x  como  − 2x − 2x:

     $\mathsf{\dfrac{x^2-3x-2x+6}{x^2-2x-2x+4}\ge 0}$


Fatorando o numerador e o denominador do lado esquerdo, a inequação fica

     $\mathsf{\dfrac{x(x-3)-2(x-3)}{x(x-2)-2(x-2)}\ge 0}$


No numerador, coloque o fator comum  (x − 3)  em evidência. De modo semelhante, no denominador, coloque o fator comum  (x − 2)  em evidência:

     $\mathsf{\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-2)}\ge 0}$


Como  (x − 2)  aparece como fator no numerador e no denominador, simplifique a fração para  x ≠ 2.

     $\mathsf{\dfrac{x-3}{x-2}\ge 0}$    ⟵    inequação-quociente.


Vamos analisar agora os sinais do numerador e do denominador:

     $\large\begin{array}{ll} \mathsf{x-3}&\mathsf{\quad\overset{-----------------}{\textsf{------------}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\textsf{------------------}}\!\!\underset{3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}{\blacktriangleright}\end{array}}\\\\ \mathsf{x-2}&\mathsf{\quad\overset{------}{\textsf{------------}}\!\!\underset{2}{\overset{0}{\circ}}\!\!\overset{+++++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}{\blacktriangleright}\end{array}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x-3}{x-2}}&\mathsf{\quad\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{---------}{\textsf{------------------}}\!\!\underset{3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}{\blacktriangleright}\end{array}} \end{array}$


Como queremos que o quociente seja  ≥ 0,  o intervalo de interesse é

     $\mathsf{x<2~~ou~~x\ge 3.}$


Conjunto solução:

     $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~~x<2~~ou~~x\ge 3\}}$


ou em notação de intervalos,

     $\mathsf{S=\left]-\infty,\,2\right[\,\cup\,\left[3,\,+\infty\right].}$


Resposta:  alternativa  a)  x < 2  ou  x ≥ 3.


Bons estudos! :-)