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O número natural n deixa resto 3 na divisão por 5. Calcular o resto da divisão de 8n² por 5.
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Solução:
Se n deixa resto 3 na divisão por 5, então
para algum q₁ ∈ ℕ.
Eleve os dois lados ao quadrado:
Expanda o quadrado da soma no lado direito:
Multiplique os dois lados por 8:
Reescreva 72 como 70 + 2:
Observe que as três primeiras parcelas do lado direito são múltiplos de 5. Coloque 5 em evidência:
onde 40q₁² + 48q₁ + 14 = q ∈ ℕ.
Como 0 ≤ 2 < 5, então o resto da divisão de 8n² por 5 é 2.
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Outra forma é utilizarmos a notação de congruência modular. Se n deixa resto 3 na divisão por 5, então
Eleve os dois lados ao quadrado:
Multiplique os dois lados por 8:
Mas
72 = 5 · 14 + 2
então, temos que
Como 0 ≤ 2 < 5, então o resto da divisão de 8n² por 5 é 2. Novamente, chegamos ao mesmo resultado.
Resposta: 2.
Bons estudos! :-)
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