Question

Prove que a diferença dos quadrados de dois inteiros impares é divisivel por 8

Answer 1

Nossos dois numeros impares serao representados por:

a=2x+1
b=2y+1

Onde para a e b serem inteiros x e y tb devem ser

$(2x+1)^2-(2y+1)^2=\\\\4x^2+4x+1-4y^2-4y-1=\\\\4x^2+4x-4y^2-4y=\\\\4(x^2+x-y^2-y)=\\\\4(x(x+1)-y(y+1))$

Ja provamos que sempre teremos um multiplo de 4, agora vem a sacada do problema. Jah que x eh um inteiro sabemos que dentre x e x+1 temos um unmero par e um impar jah que eles sao consecutivos (se x fosse 5 teriamos 5 e 6 por exemplo) e o produto de um numero par e um numero impar eh sempre um numero par, logo temos que x(x+1) eh algum inteiro vezes 2 e o msm vale pra y:

x(x+1)=2m
y(y+1)=2n

$4(2m-2n)=\\\\8(m-n)$