Question

Mostre que dado um número natural  n ≥ 1,  existe uma sequência de pelo menos  n  naturais consecutivos compostos.

Answer 1

Olá Lukyo.

Mostre que dado um número natural n ≥ 1, existe uma sequência de pelo menos n naturais consecutivos compostos.

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Uma forma de pensar, seria utilizando fatoriais.

Note que:

n + 1 > n

Então podemos pegar os seguintes n números consecutivos.

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1) + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1)

Note que todos eles são compostos, pois como n ≥ 1, então n + 1 ≥ 2, logo:

2 | (n + 1)! + 2

Garantido que para n = 1 vale, garantims que para os demais também vale, pois para um inteiro k no seguinte intervalo.

2 ≤ k ≤ n + 1

Temos que k é fator de (n + 1)!, pois k é menor ou igual a n + 1, então k divide (n + 1)!, logo.

k | (n + 1)! + k

Como (n + 1)! + k tem um divisor k que é maior que 1, então ele é composto.

Outra resolução:

Teorema Chinês dos restos.

Se $\mathsf{m_1,m_2,...,m_n}$ são inteiros positivios primos entre si dois a dois, e a é um inteiro, então.

$\begin{cases}\mathsf{a\equiv a_1~(mod~m_1)}\\\mathsf{a\equiv a_2~(mod~m_2)}\\\mathsf{a \equiv a_3~(mod~m_3)}\\...\\\mathsf{a\equiv~a_n~(mod~m_n)}\end{cases}$

O sistema de congruência acima tem solução.

Então podemos usar o teorema chinês dos restos para criar uma lista de números consecutivos com um divisor qualquer. Isso é interessante pois podemos atribuir qualquer valor inteiro positivo para um $\mathsf{m_j}$, e teremos que o sistema ainda sim terá solução.

Pegue por exemplo os seguintes n números primos e um inteiro positivo a tais que.

$\mathsf{n<p_1<p_2<p_3<...<p_n<a}$

Pelo teorema chinês dos restos, sabemos que:

$\begin{cases}\mathsf{a+1\equiv0~(mod~ p_1)}\\\mathsf{a+2\equiv0~(mod~p_2)}\\\mathsf{a+3\equiv0~(mod~p_3)}\\...\\\mathsf{a+n\equiv0~(mod~p_n)}\end{cases}$

O sistema de congruência acima tem solução, ou seja, irá existir n números consecutivos divisíveis por um certo primo p onde p é menor que todos eles, logo, é uma lista de n números consecutivos compostos.

A solução dessa congruência terá o seguinte formato:

$\mathsf{a=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_n+r}$

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