Question

Me ajudem por favor!
Determine todos os primos da forma n³ + 1.

Answer 1

Número primo na forma n³+1:

Vamos fazer primeiro por tentativa para ver o que acontece:
1³+1= 2 primo
2³+1=9 não primo
3³+1=28 não primo
4³+1=65 não primo
5³+1=126 não primo
6³+1=217 não primo
7³+1=344 não primo
8³+1=513 não primo
9³+1=730 não primo
10³+1=1001 não primo

Parece que só o 2 é número primo na forma n³+1 (Pelo menos até n=10)

Demonstração:

Primeiro vamos decompor n³+1:
n³ + 1 = ( n + 1 )*( n² - n + 1 ) 

Seja P o único número primo na forma P = n³ + 1: 

P = ( n + 1 )*( n² - n + 1 ) 

Para fazer com que n³ + 1 seja um número primo, sendo que ( n + 1 ).( n² - n + 1 ) são seus fatores, devemos fazer com que um dos fatores seja 1 para que na multiplicação dos fatores fiquemos só com um fator, pois a multiplicação por 1 não altera o resultado, então vamos fazer com que n + 1 seja igual a 1:
 
n + 1 = 1
n = 1-1
n=0

Então devemos substituir no segundo fator (n² - n + 1): 

P= n² - n + 1
P= 0² - 0 + 1 
P= 1 (como 1 não é primo, então não pode) 

Agora, se igualarmos o segundo fator a 1 como fizemos com o primeiro fator, temos: 

n² - n + 1 = 1
n² - n = 1-1
n² - n = 0
n*( n - 1 ) = 0
n = 0 (que já vimos que não dá certo) ou
n - 1 = 0
n = 1. 

Confirmando para n=0, agora substituindo no primeiro fator:

P = n + 1
P = 0 + 1
P = 1 (como vimos, não pode, pois 1 não é número primo) 

Para n = 1: 

P = n + 1
P = 1 + 1
P = 2 (que é um número primo!) 

∴ 2 é o único número primo na forma n³ + 1
 
Espero que tenha entendido!