Determine as coordenadas dos vértices de um triangulo cujos pontos médios dos lados são P(-1,4) , Q(2,-1) e R(-2,2).
Respostas
sejam A,B,C os vértices de um triangulo
seja P(-1, 4) o ponto médio entre A e B
seja Q(2, -1) o ponto médio entre B e C
seja R(-2,2) o ponto médio entre A e C
para eixo x podemos escrever
Ax + Bx = 2Px = -2
Bx + Cx = 2Qx = 4
Ax + Cx = 2Rx = -4
.
resoluçao
2Ax + Bx + Cx = -2 - 4
2Ax + 4 = -6
2Ax = -10
Ax = -5
Bx - 5 = -2
Bx = 3
Cx - 5 = -4
Cx = 1
para eixo y podemos escrever
Ay + By = 2Py = 8
By + Cy = 2Qy= -2
Ay + Cy = 2Ry = 4
.
resoluçao
2Ay + By + Cy = 8 + 4
2Ay - 2 = 12
2Ay = 14
Ay = 7
By + 7 = 8
By = 1
Cy + 7 = 4
Cy = -3
Resultado A(-5,7), B(3,1), C(1,-3)
As coordenadas dos vértices do triângulo são: (3,1), (-5,7) e (1,-3).
Vamos considerar que os vértices do triângulo são A = (xa,ya), B = (xb,yb) e C = (xc,yc).
Além disso, considere que P = (-1,4) é o ponto médio de AB, Q = (2,-1) é o ponto médio de AC, R = (-2,2) é o ponto médio de BC.
Para determinarmos o ponto médio, basta somar os pontos extremos e dividir o resultado por 2.
Sendo assim, temos que:
2P = A + B
2(-1,4) = (xa,ya) + (xb,yb)
(-2,8) = (xa + xb, ya + yb)
2Q = A + C
2(2,-1) = (xa,ya) + (xc,yc)
(4,-2) = (xa + xc, ya + yc)
2R = B + C
2(-2,2) = (xb,yb) + (xc,yc)
(-4,4) = (xb + xc, yb + yc).
Assim, temos os sistemas lineares:
{xa + xb = -2
{xa + xc = 4
{xb + xc = -4
e
{ya + yb = 8
{ya + yc = -2
{yb + yc = 4.
Da equação xa + xb = -2, podemos dizer que xb = -2 - xa.
Da equação xa + xc = 4, podemos dizer que xc = 4 - xa.
Substituindo os valores de xb e xc na equação xb + xc = -4, obtemos:
-2 - xa + 4 - xa = -4
-2xa + 2 = -4
xa = 3.
Consequentemente, xb = -5 e xc = 1.
Da equação ya + yb = 8, podemos dizer que yb = 8 - ya.
Da equação ya + yc = -2, podemos dizer que yc = -2 - ya.
Substituindo os valores de yb e yc na equação yb + yc = 4, obtemos:
8 - ya - 2 - ya = 4
-2ya + 6 = 4
ya = 1.
Consequentemente, yb = 7 e yc = -3.
Portanto, os vértices do triângulo são A = (3,1), B = (-5,7) e C = (1,-3).
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