Question

Quais as soluções reais da inequação(não sei se ficou claro mas o expoente aí é um log $( \frac{1}{2})^log5(x + 3) \ \textgreater \ 1$

Answer 1

tu ainda ta vivo ixi, brincadeiras a parte.
tem que como e logaritimo x+3>0 x>-3
pois x+3=5^y o que diz que no minimo estara maior que zero
1/2 = 2^-1 logo 2 ^ -log (x+3) na 5 >1 usando log nos dois lados e pela regra de logaritimo fica - log (x+3) na 5 .log 2>log1=(0)
-log (x+3)na quinta >0 ambos vs -1 e usando propriedade do logaritimo fica 
x+3<5^0
x<1-3
x<-2 acho que seja isso logo -3<x<-2

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gabriel, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) São pedidas as soluções reais da seguinte inequação:

(1/2)^(log₅ (x+3) > 1

ii) Vamos, primeiro, encontrar as condições de existência.
Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que logaritmando (x+3) deverá ser positivo. Então teremos que:

x + 3 > 0
x > -3 ---- Esta é a única condição de existência para a expressão da sua questão.

iii) Agora como já sabemos qual é a condição de existência, vamos resolver a sua questão, que é esta:

(1/2)^(log₅ (x+3) > 1

Note que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por (1/2)⁰ , pois todo número diferente de zero, quando está elevado a zero, é sempre igual a "1".
Então, fazendo isso, teremos:

(1/2)^(log₅ (x+3) > (1/2)⁰

Agora note: como as bases são iguais (ambas as bases são "1/2"), então poderemos comparar os expoentes. Mas agora note que as bases são menores do que "1". E quando as bases são menores do que "1" (ou seja, ficam entre "0" e "1"), então, na comparação dos expoentes, o fazemos com o sentido contrário da desigualdade (se o sentido é ">" então na comparação dos expoentes o fazemos com o sentido "<").
Então, fazendo a comparação entre os expoentes, teremos isto:

log₅ (x+3) < 0 ------ veja se você aplicar a definição de logaritmo iremos ficar assim:

x + 3 < 5⁰ ---- como 5⁰ = 1, teremos:
x + 3 < 1 ---- passando o "3" para o 2º membro, teremos:
x < 1 - 3
x < - 2

iv) Finalmente, note que agora sendo "x" menor do que "-2" ele está obedecendo à condição de existência, que já vimos que "x" deverá ser maior do que (-3). E, juntando isso (condição de existência mais o valor encontrado para "x"), então teremos que que "x" deverá ser maior do que (-3) (pela condição de existência) e deverá ser menor do que "-2" (considerando a raiz da inequação acima). Logo, a resposta será:

-3 < x < -2  ---- Esta é a resposta. E veja que está exatamente igual ao gabarito da questão que você informou.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = (-3; -2).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.